Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=e^x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é r^2 - 2r + 5 = 0 . Essa equação tem coeficientes constantes, então usamos a equação característica para encontrar as soluções.
A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 2 pm 4i2 = 1 pm 2i . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: e .

Passo 4

Com raízes complexas da forma yh = e^alpha x (C1 cos beta x + C2 sin beta x) , a solução geral da equação homogênea é:
yh = e^x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp = e^x (A cos x + B sin x) para a equação completa . Como o lado direito é , usamos uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos derivar yp' = e^x (A cos x + B sin x) + e^x (-A sin x + B cos x) = e^x [(A + B) cos x + (B - A) sin x] para encontrar yp'' = e^x [(A + B) cos x + (B - A) sin x] + e^x [(-A - B) sin x + (B - A) cos x] = e^x [ (A + B + B - A) cos x + (B - A - A - B) sin x ] = e^x [ 2B cos x - 2A sin x ] e :

Passo 7

Agora, substituímos yp'' - 2yp' + 5yp = e^x sin x , e^x (2B cos x - 2A sin x) - 2 e^x [(A + B) cos x + (B - A) sin x] + 5 e^x (A cos x + B sin x) = e^x sin x e na equação diferencial original:
Substituindo as expressões encontradas:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
e^x [2B cos x - 2A sin x - 2(A + B) cos x - 2(B - A) sin x + 5A cos x + 5B sin x] = e^x sin x
Agrupando os termos de e^x [(2B - 2A - 2A - 2B + 5A) cos x + (-2A - 2B + 2A + 5B) sin x] = e^x sin x e e^x [( (2B - 2B) + (-4A + 5A) ) cos x + ( (-2A + 2A) + ( -2B + 5B) ) sin x] = e^x sin x :
e^x [A cos x + 3B sin x] = e^x sin x
Simplificando:

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todo A = 0 , os coeficientes de 3B = 1 implies B = 13 e devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:

Passo 10

Agora que encontramos yp = e^x ( 0 cdot cos x + 13 sin x ) = 13 e^x sin x e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) + 13 e^x sin x
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados