Derive :
z=e^{x^{5}}.

Passo 1

O enunciado dá a função z = e^{x^{5}} e pede que a gente derive essa função em relação a x.
Informações relevantes:
  • A função é composta: uma exponencial e^{(\cdot)} aplicada à função x^{5}.
  • O objetivo é encontrar \dfrac{dz}{dx}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Regra da cadeia: se uma função é composta, isto é, z = f(g(x)), então a derivada é
\frac{dz}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x).
Isto significa: derivar a função externa avaliando-a na interna e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Derivada da exponencial: para f(u)=e^{u} (onde u é uma função de x), vale
\frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}\cdot \frac{du}{dx}.
Ou seja, e^{u} se mantém e simplesmente multiplica pela derivada de u.
  • Regra do poder (power rule): para u(x)=x^{n} com n real, tem-se
\frac{du}{dx}=n x^{n-1}.
Isso serve para derivar x^{5}.

Passo 3

Identificar a função interna e a externa na composição:
  • Função externa f(u)=e^{u}.
  • Função interna u(x)=x^{5}.

Passo 4

Calcular a derivada da função interna usando a regra do poder:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}.
Explicação rápida: a regra do poder diz multiplicar por 5 e reduzir o expoente em 1.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia (ou a fórmula da derivada da exponencial) juntando as partes:
\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{5} e u'(x)=5x^{4}, obtemos
\frac{dz}{dx}=e^{x^{5}}\cdot 5x^{4}.

Passo 6

Escrever de forma mais usual (ordenando o fator numérico à frente):
\frac{dz}{dx}=5x^{4}e^{x^{5}}.
Observação final e encorajamento: essa derivada vale para todo x\in\mathbb{R}. A técnica aqui é sempre a mesma quando se vê e^{(\text{algo})}: derivar o “algo” e multiplicar pelo e^{(\text{algo})}. Você consegue aplicar isso rapidinho na prova!

Resposta

\dfrac{dz}{dx}=5x^{4}e^{x^{5}}

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