Derive.
y=xe^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função $ y = \frac{x}{e^{x}} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é usada quando você tem uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem à Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se você tem uma função $ y = \frac{u}{v} $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y = uv
No nosso caso:
  • $ u = x $
  • $ v = e^{x} $

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ u $ e $ v $ com relação a $ x $.
  • Derivada de $ u = x $:
u
  • Derivada de $ v = e^{x} $:
v

Passo 4

Com as derivadas encontradas, vamos aplicar a Regra do Quociente:
y' = u'v - uv'v^2 = (1)(e^x) - (x)(e^x)(e^x)^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
y' = e^x - x e^xe^2x
Podemos fatorar $ e^{x} $ no numerador:
e^x
Isso simplifica para:
y' = e^x(1 - x)e^2x

Resposta

A derivada de $ y = \frac{x}{e^{x}} $ é:
y = xe^x

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