Calcule a soma da série
sumn=1^infty 12^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumn=1^infty 12^n. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para resolver isso. Precisamos entender como identificar uma série geométrica e aplicar a fórmula correta para encontrar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série apresentada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão entre os termos consecutivos.
No nosso caso, a série começa em n=1, então podemos reescrevê-la para se adequar à fórmula padrão.

Passo 3

Vamos reescrever a série começando de n=0:
sumn=1^infty 12^n = sumn=0^infty 12^n - 12^0 = sumn=0^infty 12^n - 1
Aqui, 12^0 = 1, então subtraímos esse valor para ajustar o índice da soma.

Passo 4

Agora, identificamos os valores de a e r na série sumn=0^infty ar^n:
  • a = 12^0 = 1,
  • r = 12.
Como |r| = 12 < 1, a série geométrica converge e podemos usar a fórmula da soma infinita.

Passo 5

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 11 - 12 = 112 = 2

Passo 6

Lembrando que ajustamos a série original subtraindo 1, então a soma da série que queremos é:
sumn=1^infty 12^n = S - 1 = 2 - 1 = 1

Resposta

A soma da série é igual a 1.

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