Calcule as integrais abaixo:
integral raiz2000^2-x^2 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral raiz2000^2 - x^2 , dx. Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é muito útil quando temos expressões do tipo raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Como temos raiz2000^2 - x^2, vamos definir:
x = 2000 cdot sintheta
Essa substituição é útil porque, pela identidade trigonométrica sin^2theta + cos^2theta = 1, a expressão dentro da raiz vai se simplificar.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx em termos de theta. Derivando x = 2000 cdot sintheta em relação a theta, temos:
dx = 2000 cdot costheta , dtheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral raiz2000^2 - x^2 , dx = integral raiz2000^2 - (2000 cdot sintheta)^2 cdot 2000 cdot costheta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz2000^2 - 2000^2 cdot sin^2theta = 2000 cdot raiz1 - sin^2theta = 2000 cdot costheta

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
integral 2000 cdot costheta cdot 2000 cdot costheta , dtheta = 2000^2 integral cos^2theta , dtheta
Isso simplifica para:
4,000,000 integral cos^2theta , dtheta

Passo 6

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Então, a integral fica:
4,000,000 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 2,000,000 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta

Passo 7

Integrando termo a termo:
2,000,000 ( integral 1 , dtheta + integral cos(2theta) , dtheta ) = 2,000,000 ( theta + sin(2theta)2 ) + C
Simplificando:
2,000,000 , theta + 1,000,000 , sin(2theta) + C

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembrando que fizemos x = 2000 cdot sintheta, então:
sintheta = x2000 implies theta = arcsin( x2000 )
Além disso, usamos a identidade sin(2theta) = 2 sintheta costheta. Sabendo que costheta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - (x2000)^2 = raiz2000^2 - x^22000, temos:
sin(2theta) = 2 cdot x2000 cdot raiz2000^2 - x^22000 = 2x raiz2000^2 - x^22000^2

Passo 9

Substituindo de volta na expressão integrada:
2,000,000 cdot arcsin( x2000 ) + 1,000,000 cdot 2x raiz2000^2 - x^22000^2 + C
Simplificando os coeficientes:
2,000,000 cdot arcsin( x2000 ) + 2,000,000 cdot x raiz2000^2 - x^22000^2 + C
2,000,000 cdot arcsin( x2000 ) + x raiz2000^2 - x^2 + C

Resposta

A integral integral raiz2000^2 - x^2 , dx é igual a:
x raiz2000^2 - x^2 + 2,000,000 cdot arcsin( x2000 ) + C
onde C é a constante de integração.

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