Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é muito útil quando temos expressões do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Como temos
, vamos definir:
Essa substituição é útil porque, pela identidade trigonométrica
, a expressão dentro da raiz vai se simplificar.
Passo 3
Agora, vamos calcular
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
Além disso, usamos a identidade
. Sabendo que
, temos:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão integrada:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.