Desafio:(10 pontos)
Sejam
e
duas funções contínuas. Mostre que
(Dica: Use
)
Sejam
Passo 1
O enunciado considera duas funções contínuas
e pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para integrais:
Vamos usar a dica, que define para todo
a quantidade
e explorar que
é um polinômio quadrático em
.
Passo 2
Expandindo
por linearidade da integral e propriedades do quadrado, obtemos
Passo 3
Como
para todo
, o discriminante desse polinômio em
deve ser não–positivo. Chamando
o discriminante é
Passo 4
Substituindo de volta as integrais, ficamos com
Tomando a raiz quadrada não–negativa de ambos os lados, chega-se à desigualdade desejada