Desafio:(10 pontos)
Sejam f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} e g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} duas funções contínuas. Mostre que
\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \leq\left(\sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^{2} d x}\right)\left(\sqrt{\int_{a}^{b} g(x)^{2} d x}\right)
(Dica: Use P(\lambda)=\left(\int_{a}^{b} f(x)-\lambda g(x) d x\right)^{2} \geq 0 )

Passo 1

O enunciado considera duas funções contínuas f,g:[a,b]\to\mathbb{R} e pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para integrais:
\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx\;\le\;\sqrt{\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}\;\sqrt{\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx}.
Vamos usar a dica, que define para todo \lambda\in\mathbb{R} a quantidade
P(\lambda)=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-\lambda g(x)\bigr)^{2}\,dx\;\ge\;0,
e explorar que P(\lambda) é um polinômio quadrático em \lambda.

Passo 2

Expandindo P(\lambda) por linearidade da integral e propriedades do quadrado, obtemos
P(\lambda) =\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx -2\lambda\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx +\lambda^{2}\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx.

Passo 3

Como P(\lambda)\ge0 para todo \lambda, o discriminante desse polinômio em \lambda deve ser não–positivo. Chamando
A=\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx,\quad B=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,\quad C=\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx,
o discriminante é
D = (-2B)^{2}-4\,(A)\text{(C)} =4B^{2}-4AC\;\le\;0 \;\Longrightarrow\;B^{2}\le AC.

Passo 4

Substituindo de volta as integrais, ficamos com
\Bigl(\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\Bigr)^{2} \le \Bigl(\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\Bigr) \Bigl(\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\Bigr).
Tomando a raiz quadrada não–negativa de ambos os lados, chega-se à desigualdade desejada
\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx \;\le\; \sqrt{\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}\; \sqrt{\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx}.

Resposta

\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx \;\le\; \sqrt{\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}\; \sqrt{\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx}.

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