Calcule a área da região delimitada pelas curvas indicadas
y=1 / x^{3}, y=0 e x=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
y = \frac{1}{x^{3}},\quad y = 0,\quad x = 1
Observe que a região se estende indefinidamente para a direita, então vamos usar o conceito de integral imprópria para calcular
A = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}}\,dx.

Passo 2

Para usar integral imprópria, introduzimos um ponto b>1 e escrevemos
A = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{3}}\,dx.
Aqui estamos aplicando a definição de área sob a curva y=f(x) entre x=1 e x=b, depois levamos b ao infinito.

Passo 3

Calculemos a antiderivada de x^{-3}. Como
\frac{d}{dx}\!\bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-2}\bigr) = -\tfrac{1}{2} \cdot (-2) x^{-3} = x^{-3},
temos
\int \frac{1}{x^{3}}\,dx = -\frac{1}{2} x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Agora avaliaremos o limite
A = \lim_{b\to\infty} \left[\,-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{x=1}^{x=b} = \lim_{b\to\infty} \Bigl(-\frac{1}{2b^{2}} - \bigl(-\tfrac{1}{2\cdot1^{2}}\bigr)\Bigr) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{1}{2}.

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