Se um objeto muito pequeno de massa M é suspenso da mola, qual é o alongamento médio resultante \bar{x} da mola?

Passo 1

O enunciado diz que um objeto de massa M é solto a partir da posição em que a mola não está alongada e então oscila sob a ação da gravidade. Queremos o valor do alongamento médio
\bar{x}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\,dt
ao longo de um período T. Para resolver, vamos escrever a equação de movimento da massa acoplada à mola (constante elástica k), encontrar a solução x(t) e em seguida calcular a média temporal.

Passo 2

A equação de Newton para a massa é
M\,x''(t) = -k\,x(t) + M g,
em que x(t) é o alongamento medido a partir do comprimento natural da mola e g é a aceleração da gravidade. Reconhecemos que existe um ponto de equilíbrio estático dado por
x_{\mathrm{eq}} = \frac{M g}{k}.

Passo 3

Definimos y(t)=x(t)-x_{\mathrm{eq}}. Substituindo na equação de movimento, obtemos
M\,y''(t) = -k\,y(t),
que é a equação do oscilador harmônico simples de frequência
\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}.
As condições iniciais, ao soltar a massa sem velocidade de x(0)=0, dão
y(0)=-x_{\mathrm{eq}},\quad y'(0)=0.
Logo a solução é
y(t) = -x_{\mathrm{eq}}\cos(\omega t)
e portanto
x(t)=x_{\mathrm{eq}}\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr).

Passo 4

O alongamento médio em um período T=2\pi/\omega é
\bar{x}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\,dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x_{\mathrm{eq}}\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr)\,dt.
Como
\int_{0}^{T}\cos(\omega t)\,dt=0,
fica
\bar{x} =\frac{x_{\mathrm{eq}}}{T}\int_{0}^{T}1\,dt =x_{\mathrm{eq}}.

Resposta

\bar{x} = \frac{M g}{k}.

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