Use técnicas de integração para integrar duas das integrais abaixo
\int \frac{x^{3}-2 x^{2}-4}{x^{3}+2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}}\,dx
usando técnicas de integração de funções racionais. Vamos precisar fazer divisão de polinômios (para separar a parte polinomial) e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de polinômios:
\frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}} =1+\frac{(x^{3}-2x^{2}-4)-(x^{3}+2x^{2})}{x^{3}+2x^{2}} =1+\frac{-4x^{2}-4}{x^{2}(x+2)} =1-\frac{4(x^{2}+1)}{x^{2}(x+2)}.

Passo 3

Agora decompondo a parte própria
\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+2)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+2}.
Multiplicando por x^{2}(x+2)\) obtemos \[x^{2}+1 = A\,x(x+2) + B\,(x+2) + C\,x^{2} =(A+C)x^{2}+(2A+B)x+2B.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + C = 1,\\\\ 2A + B = 0,\\\\ 2B = 1, \end{cases}
logo B=\tfrac12\], \(2A+\tfrac12=0\Rightarrow A=-\tfrac14, e C=1- A=1+\tfrac14=\tfrac54.

Passo 4

Substituindo de volta,
\frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}} =1-4\Bigl(-\tfrac14\frac1x+\tfrac12\frac1{x^{2}}+\tfrac54\frac1{x+2}\Bigr) =1+\frac1x-\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x+2}.
Então a integral vira
\int \!1\,dx +\int \frac1x\,dx -2\int x^{-2}\,dx -5\int \frac1{x+2}\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int 1\,dx = x, \quad \int \frac1x\,dx = \ln\lvert x\rvert, \quad -2\int x^{-2}\,dx = -2\Bigl(-x^{-1}\Bigr)=\frac{2}{x}, \quad -5\int \frac1{x+2}\,dx=-5\ln\lvert x+2\rvert.

Resposta

\boxed{x + \ln\lvert x\rvert + \frac{2}{x} \;-\; 5\,\ln\lvert x+2\rvert + C.}

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