DESAFIO: Analise a série sumn=1^infty 4 n+3n^3+raizn
DICA: Use estimativas 4 n+3n^3 raizn<4 nn^3

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^infty4n+3n^3+raizn. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação com séries p-séries ( sum1/n^p).

Passo 2

Para todo n>=1 temos n^3+raizn>n^3. Logo
4n+3n^3+raizn<4n+3n^3

Passo 3

Agora separamos
4n+3n^3 = 4nn^3+3n^3 = 4n^2+3n^3

Passo 4

Sabemos que as séries sum1n^2 (p=2) e sum1n^3 (p=3) convergem, pois p>1. Dessa forma
sumn=1^inftyl(tfrac4n^2+tfrac3n^3r) é convergente. Pelo teste de comparação, como cada termo original é menor que um termo de uma série convergente não-negativa, a série dada também converge.

Resposta

A série converge por comparação com séries p (p=2 e p=3).

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