Os 88 biólogos de uma cidade foram questionados se concluíram os cursos de especialização em ecologia, genética e microbiologia. Considere que todos os biólogos têm pelo menos uma das especializações citadas. Alguns dos resultados da pesquisa estão descritos a seguir:
  • 56 biólogos fizeram a especialização em ecologia; - 8 biólogos fizeram apenas a especialização em ecologia; - 2 biólogos fizeram apenas a especialização em microbiologia; - 42 biólogos fizeram as especializações de ecologia e genética;
  • 22 biólogos fizeram as especializações de genética e microbiologia;
  • 26 biólogos fizeram as especializações de ecologia e microbiologia.
De acordo com as informações anteriores, é correto afirmar que:

Passo 1

Resumindo: temos 88 biólogos que fizeram ao menos uma das especializações E (ecologia), G (genética) e M (microbiologia). Dos dados, já conhecemos |E|, apenas E, apenas M, |E∩G|, |G∩M| e |E∩M|, mas faltam x=|E∩G∩M| e o número de apenas G.

Passo 2

Para achar x usamos a relação de inclusão–exclusão restrita ao conjunto E. Sabemos que
|E| = (apenas E)+(exatamente Ecap G)+(exatamente Ecap M)+|Ecap Gcap M|

Passo 3

Substituindo os valores:
56 = 8 + (42 - x) + (26 - x) + x

Passo 4

Resolvendo: 8+42+26=76, então 56 = 76 - x ⇒ x = 20.

Passo 5

Agora determinamos o número de biólogos que fizeram apenas G. Escrevendo a soma de todas as categorias igual a 88:
8 + (apenas G) + 2 + (42 - 20) + (26 - 20) + (22 - 20) + 20 = 88

Passo 6

Isso dá
10 + (apenas G) + 90 - 2cdot20 = 88 Rightarrow apenas G = 28

Resposta

Fizeram as três especializações 20 biólogos e apenas genética 28 biólogos.

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