Os 88 biólogos de uma cidade foram questionados se concluíram os cursos de especialização em ecologia, genética e microbiologia. Considere que todos os biólogos têm pelo menos uma das especializações citadas. Alguns dos resultados da pesquisa estão descritos a seguir:
- 56 biólogos fizeram a especialização em ecologia; - 8 biólogos fizeram apenas a especialização em ecologia; - 2 biólogos fizeram apenas a especialização em microbiologia; - 42 biólogos fizeram as especializações de ecologia e genética;
- 22 biólogos fizeram as especializações de genética e microbiologia;
- 26 biólogos fizeram as especializações de ecologia e microbiologia.
De acordo com as informações anteriores, é correto afirmar que:
Passo 1
Resumindo: temos 88 biólogos que fizeram ao menos uma das especializações E (ecologia), G (genética) e M (microbiologia). Dos dados, já conhecemos |E|, apenas E, apenas M, |E∩G|, |G∩M| e |E∩M|, mas faltam x=|E∩G∩M| e o número de apenas G.
Passo 2
Para achar x usamos a relação de inclusão–exclusão restrita ao conjunto E. Sabemos que
Passo 3
Substituindo os valores:
Passo 4
Resolvendo: 8+42+26=76, então 56 = 76 - x ⇒ x = 20.
Passo 5
Agora determinamos o número de biólogos que fizeram apenas G. Escrevendo a soma de todas as categorias igual a 88:
Passo 6
Isso dá
Resposta
Fizeram as três especializações 20 biólogos e apenas genética 28 biólogos.