Desafio 1! Considere a espira de corrente descrita no problema 2, isto é, circular, de raio a, no plano \mathcal{O X Y} e com o centro na origem dos eixos, e percorrida por uma corrente estacionária i. Considere, agora, uma curva fechada orientada composta pela união do eixo \mathcal{O Z} com um semicírculo de raio infinito centrado na origem. Verifique, explicitamente, que \oint_{C} \vec{B} \cdot d \overrightarrow{\ell^{\prime}}=\mu_{0} i, como esperado pela Lei de Ampère.

Passo 1

O enunciado descreve uma espira circular de raio a, no plano \mathcal{OXY}, centrada na origem, percorrida por uma corrente estacionária i. Queremos aplicar a Lei de Ampère numa curva fechada C que é a união do eixo \mathcal{OZ} (do z=-\infty ao z=+\infty) com um semicírculo de raio R\to\infty que fecha em “infinito”. Para isso precisamos do campo magnético no eixo ( z) da espira e calcular explicitamente
\oint_{C}\vec B\cdot d\vec\ell' \;=\;\mu_0\,i.

Passo 2

No eixo z, o campo magnético devido à espira vale
\vec B(z)=B_z(z)\,\hat z, \quad B_z(z)=\frac{\mu_0\,i\,a^2}{2\,\bigl(z^2+a^2\bigr)^{3/2}}.
Parametrizando a parte \Gamma_1 de z=-\infty a +\infty pelo vetor de elemento
d\vec\ell' = dz\,\hat z,
temos
\int_{\Gamma_1}\vec B\cdot d\vec\ell' =\int_{-\infty}^{\infty}B_z(z)\,dz =\frac{\mu_0\,i\,a^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(z^2+a^2)^{3/2}}.

Passo 3

Para avaliar
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(z^2+a^2)^{3/2}}
fazemos a substituição z=a\tan\theta, dz=a\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta. Então
I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{a\operatorname{sec}^2\theta}{\bigl(a^2\tan^2\theta+a^2\bigr)^{3/2}}\,d\theta =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{a\operatorname{sec}^2\theta}{a^3\operatorname{sec}^3\theta}\,d\theta =\frac{1}{a^2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =\frac{2}{a^2}.
Substituindo em \Gamma_1
\int_{\Gamma_1}\vec B\cdot d\vec\ell' =\frac{\mu_0\,i\,a^2}{2}\cdot\frac{2}{a^2} =\mu_0\,i.

Passo 4

Na parte \Gamma_2, o semicírculo de raio R\to\infty, a distância ao centro é r\approx R muito grande. O campo no extremo comporta-se como B\sim1/R^3 e o comprimento dessa curva é \pi R, de modo que
\left|\int_{\Gamma_2}\vec B\cdot d\vec\ell'\right| \lesssim \frac{\text{const}}{R^3}\times(\pi R) \;\xrightarrow[R\to\infty]{}\;0.
Logo a contribuição em “infinito” é nula.

Passo 5

Somando as duas partes da curva C, temos
\oint_{C}\vec B\cdot d\vec\ell' =\int_{\Gamma_1}+\int_{\Gamma_2} =\mu_0\,i+0 =\mu_0\,i,
como prevê a Lei de Ampère.

Resposta

\displaystyle\oint_{C}\vec B\cdot d\overrightarrow{\ell^{\prime}}=\mu_{0}i.

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