Ex. 8. Calcule as seguintes integrais de superficies:
\iint_{S}(\mathbf{F} \bullet \mathbf{n}) d S; S é a porção do cilindro x^{2}+z^{2}=r^{2}, x \geq 0, y \geq 0,0 \geq z \geq a e F=\operatorname{sen} z \mathbf{j}+x y \mathbf{j}-\cos z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S} (\mathbf{F}\cdot \mathbf{n})\,dS
através da porção do cilindro x^{2}+z^{2}=r^{2} sujeita a
x\ge0,\quad y\ge0,\quad a\le z\le 0,
para o campo vetorial presumido
\mathbf{F} = \sin z\,\mathbf{i} \;+\;x\,y\,\mathbf{j}\;-\cos z\,\mathbf{k}.
Para resolver fluxos assim normalmente precisaríamos de uma parametrização da superfície em (\theta,y) ou aplicar o teorema da divergência a um volume fechado. Em ambos os métodos é essencial saber o intervalo de y.

Passo 2

O enunciado só diz “ y\ge0” sem impor um teto superior para y. Isso faz com que a superfície seja infinitamente extensa nessa direção e, portanto, o fluxo fique divergente (ou mal-definido), já que nem por parametrização nem por teorema de Gauss podemos encerrar o cálculo sem um limite superior de y.

Resposta

Não há como calcular o fluxo de forma finita, pois falta uma condição de contorno em y (o intervalo em y não está delimitado) e a superfície é, assim, ilimitada nessa direção.

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