Se \log _{4} a^{4}=x, então quanto é \log _{16} \sqrt{a} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado nos dá a igualdade \log_{4} a^{4} = x.
  • O enunciado pede o valor de \log_{16} \sqrt{a}.
Informações relevantes que temos explicitamente:
  • a é a base do argumento dos logaritmos (não é especificado se a>0 e a\neq1, mas vamos assumir isso porque logaritmos estão definidos nesses casos).
  • x é o valor numérico de \log_{4} a^{4}.

Passo 2

Relembrando a definição e uma propriedade básica de logaritmos (mini-aula rápida e prática).
  • Definição: \log_{b} y é o número que satisfaz b^{\log_{b} y} = y. Ou seja, \log_{b} y é o expoente a que b deve ser elevado para obter y. Exemplo simples: \log_{2} 8 = 3 porque 2^{3}=8.
  • Propriedade de potência dentro do logaritmo: \log_{b} (u^{k}) = k\,\log_{b} u. Aqui b é a base do logaritmo, u é o argumento e k é um expoente real. Isso segue direto da definição (se u=b^{\log_{b} u}, então u^{k}=b^{k\log_{b} u}, logo \log_{b} u^{k}=k\log_{b} u).
Vou aplicar essa propriedade ao dado \log_{4} a^{4}=x.

Passo 3

Usando a propriedade \log_{b}(u^{k})=k\log_{b} u no dado:
\log_{4} a^{4} = 4\log_{4} a = x.
Isso implica isolando \log_{4} a:
\log_{4} a = \frac{x}{4}.
Expliquei: aqui \log_{4} a é o expoente que faz 4^{\log_{4} a}=a.

Passo 4

Agora vou transformar \log_{16} \sqrt{a} para algo que envolva \log_{4} a, porque já temos \log_{4} a = \dfrac{x}{4}. Mini-aula sobre mudança de base e relações entre bases-poder:
  • Fórmula de mudança de base (útil): \log_{p} q = \dfrac{\log_{r} q}{\log_{r} p} para qualquer base r>0, r\neq1. Aqui é conveniente escolher r=4, porque já trabalhamos com \log_{4}.
  • Observação prática: 16 = 4^{2} e \sqrt{a} = a^{1/2}. Também existe a relação útil e rápida: para inteiros m,n e base b vale \log_{b^{n}}(y^{m}) = \frac{m}{n}\log_{b} y. Vou aplicar a versão via mudança de base passo a passo.

Passo 5

Aplicando a mudança de base com r=4:
\log_{16} \sqrt{a} = \frac{\log_{4} \sqrt{a}}{\log_{4} 16}.
Agora calculo numerador e denominador separadamente usando propriedades de potência.

Passo 6

Calcular o numerador \log_{4} \sqrt{a}:
\log_{4} \sqrt{a} = \log_{4} a^{1/2} = \frac{1}{2}\log_{4} a.
(Usei a propriedade \log_{b}(u^{k})=k\log_{b} u com k=\tfrac{1}{2}.)
Calcular o denominador \log_{4} 16:
\log_{4} 16 = \log_{4} 4^{2} = 2.

Passo 7

Substituo os resultados do numerador e denominador na expressão da base 16:
\log_{16} \sqrt{a} = \frac{\frac{1}{2}\log_{4} a}{2} = \frac{1}{4}\log_{4} a.
Agora substituo \log_{4} a = \dfrac{x}{4} (do Passo 3):
\log_{16} \sqrt{a} = \frac{1}{4}\cdot\frac{x}{4} = \frac{x}{16}.

Resposta

\dfrac{x}{16}

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