Se
, então quanto é
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado nos dá a igualdade
. - O enunciado pede o valor de
.
Informações relevantes que temos explicitamente:
-
é a base do argumento dos logaritmos (não é especificado se e , mas vamos assumir isso porque logaritmos estão definidos nesses casos). -
é o valor numérico de .
Passo 2
Relembrando a definição e uma propriedade básica de logaritmos (mini-aula rápida e prática).
- Definição:
é o número que satisfaz . Ou seja, é o expoente a que deve ser elevado para obter . Exemplo simples: porque . - Propriedade de potência dentro do logaritmo:
. Aqui é a base do logaritmo, é o argumento e é um expoente real. Isso segue direto da definição (se , então , logo ).
Vou aplicar essa propriedade ao dado
.
Passo 3
Usando a propriedade
no dado:
Isso implica isolando
:
Expliquei: aqui
é o expoente que faz
.
Passo 4
Agora vou transformar
para algo que envolva
, porque já temos
. Mini-aula sobre mudança de base e relações entre bases-poder:
- Fórmula de mudança de base (útil):
para qualquer base . Aqui é conveniente escolher , porque já trabalhamos com . - Observação prática:
e . Também existe a relação útil e rápida: para inteiros e base vale . Vou aplicar a versão via mudança de base passo a passo.
Passo 5
Aplicando a mudança de base com
:
Agora calculo numerador e denominador separadamente usando propriedades de potência.
Passo 6
Calcular o numerador
:
(Usei a propriedade
com
.)
Calcular o denominador
:
Passo 7
Substituo os resultados do numerador e denominador na expressão da base 16:
Agora substituo
(do Passo 3):