Se \log _{b} a=\log _{a} \sqrt[4]{b}, qual a relação entre a e b ?

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade entre dois logaritmos e pede a relação entre a e b. Especificamente:
  • Informação dada: \log_{b} a = \log_{a} \sqrt[4]{b}.
  • O que se pede: encontrar uma relação entre a e b (isto é, expressar b em função de a, ou vice-versa), lembrando as restrições de logaritmo: a>0, a\neq1, b>0, b\neq1.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades básicas de logaritmos que usaremos (a explicação é bem passo a passo, tipo cola para a prova):
  1. Troca de base (ou reciprocidade): para qualquer x>0 e bases positivas diferentes de 1,
\log_{c} d = \frac{1}{\log_{d} c}.
Isto é útil porque transforma um logaritmo trocando base/argumento.
  1. Logaritmo de potência: para qualquer u>0 e real \alpha,
\log_{r} (u^{\alpha}) = \alpha \log_{r} u.
Aqui \alpha sai da potência como fator. No nosso caso vamos usar \alpha=\tfrac{1}{4} porque \sqrt[4]{b}=b^{1/4}.

Passo 3

Aplique a propriedade de potência ao membro da direita da igualdade do enunciado. Como \sqrt[4]{b}=b^{1/4}, temos
\log_{a} \sqrt[4]{b} = \log_{a} \bigl(b^{1/4}\bigr) = \tfrac{1}{4}\log_{a} b.
Portanto a igualdade do enunciado fica
\log_{b} a = \tfrac{1}{4}\log_{a} b.

Passo 4

Agora use a reciprocidade entre logaritmos para escrever \log_{b} a em termos de \log_{a} b. Pela propriedade 1,
\log_{b} a = \frac{1}{\log_{a} b}.
Substituindo na igualdade obtida no Passo 3 obtemos
\frac{1}{\log_{a} b} = \tfrac{1}{4}\log_{a} b.

Passo 5

Para simplificar, seja
x = \log_{a} b.
Isso significa que x é o número tal que b=a^{x}. Substituindo na equação do Passo 4 temos
\frac{1}{x} = \tfrac{1}{4}x.
Multiplicando ambos os lados por 4x (observando x\neq0, pois \log_{a} b=0 implicaria b=1, impossibilitado pelo enunciado), chegamos a
4 = x^{2}.

Passo 6

Resolvendo x^{2}=4 obtemos
x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -2.
Voltando à definição x=\log_{a} b, isso dá duas possibilidades:
  • Se \log_{a} b = 2, então b = a^{2}.
  • Se \log_{a} b = -2, então b = a^{-2} = \dfrac{1}{a^{2}}.
Ambas são soluções válidas desde que a>0, a\neq1 e b>0, b\neq1. Note que se b=a^{-2} e a>0, então b>0 automaticamente; a única restrição adicional é evitar b=1, o que ocorreria apenas se a^{2}=1, ou seja a=1 (já proibido) ou a=-1 (impossível pois a>0).

Resposta

b = a^{2}
b = a^{-2}

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