Se
, qual a relação entre
e
?
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade entre dois logaritmos e pede a relação entre
e
. Especificamente:
- Informação dada:
- O que se pede: encontrar uma relação entre
e (isto é, expressar em função de , ou vice-versa), lembrando as restrições de logaritmo: , , , .
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades básicas de logaritmos que usaremos (a explicação é bem passo a passo, tipo cola para a prova):
- Troca de base (ou reciprocidade): para qualquer
e bases positivas diferentes de ,
Isto é útil porque transforma um logaritmo trocando base/argumento.
- Logaritmo de potência: para qualquer
e real ,
Aqui
sai da potência como fator. No nosso caso vamos usar
porque
.
Passo 3
Aplique a propriedade de potência ao membro da direita da igualdade do enunciado. Como
, temos
Portanto a igualdade do enunciado fica
Passo 4
Agora use a reciprocidade entre logaritmos para escrever
em termos de
. Pela propriedade 1,
Substituindo na igualdade obtida no Passo 3 obtemos
Passo 5
Para simplificar, seja
Isso significa que
é o número tal que
. Substituindo na equação do Passo 4 temos
Multiplicando ambos os lados por
(observando
, pois
implicaria
, impossibilitado pelo enunciado), chegamos a
Passo 6
Resolvendo
obtemos
Voltando à definição
, isso dá duas possibilidades:
- Se
, então . - Se
, então .
Ambas são soluções válidas desde que
,
e
,
. Note que se
e
, então
automaticamente; a única restrição adicional é evitar
, o que ocorreria apenas se
, ou seja
(já proibido) ou
(impossível pois
).