(desafio) Encontre todos os pontos cuja distância a cada eixo coordenado é igual à sua distância do ponto (4,2).

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos (x,y) cuja distância para cada eixo coordenado (isto é, distância para o eixo Ox é |y| e para o eixo Oy é |x|) seja igual à distância desse ponto ao ponto (4,2). O assunto é geometria analítica: vamos usar valor absoluto e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Como a distância de (x,y) ao ponto (4,2) é dada por raiz(x-4)^2+(y-2)^2, impomos
|x| = raiz(x-4)^2+(y-2)^2
|y| = raiz(x-4)^2+(y-2)^2
Elevando ao quadrado cada uma, obtemos
(x-4)^2+(y-2)^2 = x^2
(x-4)^2+(y-2)^2 = y^2
Da igualdade dessas duas expressões segue |x|=|y|.

Passo 3

Como |x|=|y|, temos duas possibilidades: y=x ou y=-x.

Passo 4

Caso 1: y = x. Substituindo em
(x-4)^2+(x-2)^2 = x^2
expandindo:
x^2 -8x +16 + x^2 -4x +4 = x^2 implies 2x^2 -12x +20 = x^2 implies x^2 -12x +20 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 12 pm raiz144 - 802 = 12 pm 82 implies x=2 ou x=10
Logo obtemos os pontos (2,2) e (10,10).

Passo 5

Caso 2: y = -x. Substituindo em
(x-4)^2+(-x-2)^2 = x^2
expandindo:
x^2 -8x +16 + x^2 +4x +4 = x^2 implies 2x^2 -4x +20 = x^2 implies x^2 -4x +20 = 0
O discriminante é 16 - 80 = -64 <0, não há soluções reais.

Passo 6

Portanto, os únicos pontos que satisfazem a condição são (2,2) e (10,10).

Resposta

Os pontos são (2,2) e (10,10).

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