Sejam x e y dois números reais, com 0, satisfazendo sen y=45 e 11 sen x+5 cos (y-x)=3. Determine: cos y

Passo 1

O enunciado dá dois números reais x e y tais que 0<x< tfracpi2 e tfracpi2, com sen:y= tfrac45 e 11 sen:x+5 cos(y−x)=3. O conteúdo envolve identidade pitagórica em trigonometria e fórmula de cosseno de diferença para checar consistência.

Passo 2

Usando a identidade pitagórica temos
cos^2 y = 1 - sin^2 y = 1 - l(tfrac45r)^2 = 1 - tfrac1625 = tfrac925
Logo
cos y = pm tfrac35

Passo 3

Para escolher o sinal, note que y está no segundo quadrante ( tfracpi2), onde o cosseno é negativo. Assim
cos y = -tfrac35

Passo 4

Para garantir que esse valor de cos:y é compatível com a segunda equação, substituímos sen:y= 4/5 e cos:y= -3/5 em 11 sen:x+5 cos(y−x)=3. Usando cos(y−x)=cos y cos x+sen y sen x obtemos
15sin x - 3cos x = 3
ou
5sin x - cos x = 1
Essa equação admite solução xapprox22.6^circ em (0,90°), confirmando consistência.

Passo 5

Portanto o valor de cos y que satisfaz todas as condições é

Resposta

-3/5

Exercícios relacionados