Encontre uma solução para a seguinte equação diferencial que passe pelo ponto indicado.
d yd x-y=-9
(13, 1)

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de primeira ordem dydx-y=-9 e depois escolher a constante de integração para que a solução passe por l(tfrac13,1r). O conteúdo aqui é equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Colocamos no formato padrão dydx+P(x)y=Q(x). Aqui P(x)=-1, então o fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(-1),dx=e^-xMultiplicando a equação original por e^-x obtemos
e^-xdydx-e^-xy=-9e^-x,
que é exatamente

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y e^-x=integral(-9e^-x),dx=9e^-x+C
Logo a solução geral é
y=9+Ce^x

Passo 4

Para determinar C, usamos a condição inicial y(tfrac13)=1:
1=9+C e^1/3implies C e^1/3=-8implies C=-8e^-1/3
Portanto a solução que passa por (tfrac13,1) é
y=9-8e^x-1/3

Resposta

y=9-8e^{x-1/3}

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