1. ( Desafio) Um macaco escapa do jardim zoológico e se refugia numa árvore. O guarda do zoológico tenta em vão fazê-lo descer e atira um dardo tranquilizante na direção do macaco. O esperto animal larga o galho no mesmo instante em que o dardo é disparado
    (HMN) No problema do guarda e do macaco (Seç. 3.1), mostre analiticamente que o dardo tranquilizante atinge o macaco, e calcule o instante t que isto ocorre, para uma dada distância d entre eles e altura h do galho, sendo v_{0} a velocidade inicial da bala.

Passo 1

O enunciado é o clássico “macaco e caçador”: o macaco está preso num galho a uma altura h e a distância horizontal d do atirador. No instante em que o atirador dispara o dardo tranquilizante com velocidade inicial v_{0} apontando diretamente para o macaco, este solta o galho e entra em queda livre. O objetivo é mostrar que o dardo atinge o macaco e calcular o tempo t desse encontro. O conteúdo envolve decomposição de movimento oblíquo em dois e queda livre.

Passo 2

Escolhemos um referencial com origem no atirador, eixo x horizontal na direção do macaco e eixo y vertical positivo para cima. Se o atirador mira na posição inicial do macaco, o ângulo de tiro \alpha satisfaz
\tan \alpha = \frac{h}{d}.
A velocidade inicial do dardo se decompõe em
v_{0x} = v_{0}\cos\alpha, \quad v_{0y} = v_{0}\sin\alpha.

Passo 3

As equações horária e vertical do dardo, sob aceleração da gravidade -g, são
x(t) = v_{0}\cos\alpha\,t, \qquad y(t) = v_{0}\sin\alpha\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Para o macaco em queda livre partindo de y=h com velocidade inicial zero:
y_{m}(t) = h - \tfrac{1}{2}g\,t^{2}.

Passo 4

Para que haja colisão, o dardo deve alcançar x=d, isto é
d = v_{0}\cos\alpha\,t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{d}{v_{0}\cos\alpha}.
Substituindo esse t em y(t):
y(t) = v_{0}\sin\alpha\;\frac{d}{v_{0}\cos\alpha} - \tfrac{1}{2}g\Bigl(\frac{d}{v_{0}\cos\alpha}\Bigr)^{2} = d\tan\alpha - \tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Mas d\tan\alpha = h, logo
y(t) = h - \tfrac{1}{2}g\,t^{2} = y_{m}(t).
Isso mostra analiticamente que o dardo e o macaco têm a mesma altura no mesmo instante t, ou seja, o dardo atinge o macaco.

Passo 5

Para obter t em função de d, h e v_{0}, note que
\cos\alpha = \frac{d}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{d}{v_{0}}\;\frac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{d} = \frac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{v_{0}}.

Resposta

t = \frac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{v_{0}}.

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