(desafio) Mostre que existe exatamente uma reta com coeficiente angular dado m que é tangente à parábola x^2=4 p y. Encontre sua equação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma parábola de equação
x^2=4p,y,
existe exatamente uma reta de inclinação (coeficiente angular) ,m que é tangente a ela, e para encontrar a sua equação vamos usar o critério de tangência via discriminante de um sistema formado pela reta e pela parábola.

Passo 2

Assumimos a reta genérica de coeficiente angular ,m e intercepto ,b:
y = m,x + b
Substituindo na equação da parábola ,x^2=4p,y, obtemos a equação em x das interseções:
x^2 ;=;4pl(m,x + br) ;Longrightarrow; x^2-4p,m,x-4p,b=0

Passo 3

Para que haja tangência, esse polinômio de segundo grau em x deve ter raiz dupla, ou seja, discriminante zero. Calculamos
De<a = l(-4p,mr)^2-4cdot1cdot(-4p,b) =16p^2m^2+16p,b
e impomos De<a=0, o que dá
16p^2m^2+16p,b=0 Longrightarrow b=-p,m^2

Passo 4

Como ,b fica determinado de forma única por ,m, existe exatamente uma reta de coeficiente angular ,m que toca a parábola. Substituindo ,b=-p,m^2 na equação da reta, obtemos
boxedy = m,x ;-; p,m^2

Resposta

A única reta de coeficiente angular m tangente à parábola x^2=4p,y é
y = m,x ;-; p,m^2

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