(desafio) Mostre que existe exatamente uma reta com coeficiente angular dado
que é tangente à parábola
. Encontre sua equação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma parábola de equação
existe exatamente uma reta de inclinação (coeficiente angular)
que é tangente a ela, e para encontrar a sua equação vamos usar o critério de tangência via discriminante de um sistema formado pela reta e pela parábola.
Passo 2
Assumimos a reta genérica de coeficiente angular
e intercepto
:
Substituindo na equação da parábola
, obtemos a equação em
das interseções:
Passo 3
Para que haja tangência, esse polinômio de segundo grau em
deve ter raiz dupla, ou seja, discriminante zero. Calculamos
e impomos
, o que dá
Passo 4
Como
fica determinado de forma única por
, existe exatamente uma reta de coeficiente angular
que toca a parábola. Substituindo
na equação da reta, obtemos
Resposta
A única reta de coeficiente angular
tangente à parábola
é