Em cada caso calcule as potências A^2, A^3, A^4, A^5, A^6. É possível calcular A^2022 ?
A=[cc1 / raiz2 & -1 / raiz2 1 / raiz2 & 1 / raiz2]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2 tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2
e pede A^2,A^3,A^4,A^5,A^6 e questiona se faz sentido calcular A^2022.
Conteúdo: potências de uma matriz de rotação no plano.

Passo 2

Note que
A = costfracpi4 & -sintfracpi4 sintfracpi4 & costfracpi4 ,
ou seja, A é rotação de ângulo tfracpi4. Logo, para todo ninN,
A^n = cosl(ntfracpi4r) & -sinl(ntfracpi4r) sinl(ntfracpi4r) & cosl(ntfracpi4r)

Passo 3

Aplicando a fórmula para n=2,3,4,5,6, obtemos:
A^2 = costfracpi2 & -sintfracpi2 sintfracpi2 & costfracpi2 = 0 & -11 & 0, A^3 = costfrac3pi4 & -sintfrac3pi4 sintfrac3pi4 & costfrac3pi4 = -tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2 tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2
A^4 = cospi & -sinpi sinpi & cospi = -1 & 00 & -1, A^5 = costfrac5pi4 & -sintfrac5pi4 sintfrac5pi4 & costfrac5pi4 = -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 -tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2
A^6 = costfrac3pi2 & -sintfrac3pi2 sintfrac3pi2 & costfrac3pi2 = 0 & 1-1 & 0

Passo 4

Como rotações têm período 2pi, temos A^8=I e, em geral,
A^2022 = A^2022 bmod 8 = A^6 = 0 & 1-1 & 0

Resposta

A^2 = 0 & -11 & 0
A^3 = -tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2
A^4 = -1 & 00 & -1
A^5 = -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2-tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2
A^6 = 0 & 1-1 & 0
Sim, é possível calcular A^2022; de fato
A^2022 = A^6 = 0 & 1-1 & 0

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