Encontre o foco e a diretriz de cada uma das seguintes parábolas e esboce as curvas.
x^2+2 x+29=7 y.

Passo 1

O enunciado dá a parábola definida pela equação
x^2 + 2x + 29 = 7y
e pede o foco e a diretriz, além de um esboço. O conteúdo é Seções Cônicas (parábolas). Para resolver, vamos completar o quadrado em x e reescrever na forma padrão
(x - h)^2 = 4p,(y - k),
de onde extraímos vértice (h,k), valor de p, foco e diretriz.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x. Escrevemos
x^2 + 2x + 29 = 7y
como
(x^2 + 2x + 1) + 29 - 1 = 7y
isto é,
(x + 1)^2 + 28 = 7y

Passo 3

Isolamos y e organizamos na forma padrão:
(x + 1)^2 = 7y - 28 Longrightarrow (x + 1)^2 = 7,(y - 4)
Comparando com (x - h)^2 = 4p,(y - k), vemos que
h = -1, k = 4, 4p = 7 Longrightarrow p = 74
Logo o vértice é l(-1,,4r) e a parábola abre para cima (já que p>0).

Passo 4

O foco de uma parábola (x-h)^2=4p,(y-k) está em
l(h,;k + pr)
Aqui,
l(h,;k + pr) = l(-1,;4 + tfrac74r) = l(-1,;tfrac164 + tfrac74r) = l(-1,;tfrac234r)

Passo 5

A diretriz é a reta
y - k = -p Longrightarrow y - 4 = -74 Longrightarrow y = 4 - 74 = 94

Passo 6

Esboço da parábola no plano (x,y):
  • Vértice em l(-1,4r).
  • Foco em l(-1,tfrac234r).
  • Diretriz a reta horizontal y=tfrac94.
    A curva abre para cima, passando pelo vértice, com eixo de simetria a reta x=-1.

Resposta

Foco: l(-1,tfrac234r)
Diretriz: y=tfrac94

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