Questão 01) Considere o campo elétrico \vec{E}(x, y, z)=a y \hat{i}+b z \hat{j}+c x \hat{k}, sendo a, b e c constantes. Determine o fluxo deste campo elétrico através de uma superfície plana delimitada pelos pontos (0,0,0), (1,0,0),(1,1,0) e (0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo elétrico \vec{E}(x,y,z)=a\,y\,\hat{i}+b\,z\,\hat{j}+c\,x\,\hat{k} através de uma superfície plana delimitada pelos pontos (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (0,1,0).
Informações dadas:
  • O campo é \vec{E}(x,y,z)=a\,y\,\hat{i}+b\,z\,\hat{j}+c\,x\,\hat{k}, com a,b,c constantes.
  • A superfície é o quadrado no plano z=0 com vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0). Ou seja, é o conjunto dos pontos com 0\le x\le1, 0\le y\le1 e z=0.
O que é pedido:
  • Calcular o fluxo do campo \vec{E} através dessa superfície plana (ou seja, o valor da integral de superfície \iint_{S}\vec{E}\cdot \hat{n}\,dS para a superfície indicada).

Passo 2

O que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície?
Explicação didática curta: o fluxo mede quantas “linhas” do campo atravessam a superfície por unidade de área, levando em conta direção. Matematicamente, para uma superfície S com vetor unitário normal \hat{n}, o fluxo é
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS.
Aqui \vec{E}\cdot\hat{n} é a componente do campo na direção normal (positivo se apontar no mesmo sentido de \hat{n}, negativo caso contrário), e dS é um elemento de área da superfície. Cada símbolo:
  • \Phi é o fluxo (número que queremos).
  • \vec{E} é o campo vetorial dado.
  • \hat{n} é o vetor unitário normal à superfície (tem módulo 1).
  • dS é a área infinitesimal sobre S.

Passo 3

Escolha de método e orientação do normal.
Como a superfície é plana (plano z=0), o método mais simples é usar a fórmula direta \Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS com \hat{n} constante. Não há necessidade de parametrização complicada nem do teorema da divergência (que seria overkill aqui).
Precisamos escolher a orientação do normal. Vou assumir a orientação padrão “para cima”, isto é, o vetor normal unitário
\hat{n}=\hat{k},
onde \hat{k} é o versor na direção z positiva. Se a orientação desejada fosse a oposta, o resultado teria sinal trocado; aqui uso \hat{k} (orientação positiva).

Passo 4

Avaliar o campo sobre a superfície z=0 e calcular o produto escalar.
Como na superfície S temos z=0, substituímos z=0 em \vec{E}. Assim
\vec{E}(x,y,0)=a\,y\,\hat{i}+b\cdot 0\,\hat{j}+c\,x\,\hat{k}=a\,y\,\hat{i}+0\cdot\hat{j}+c\,x\,\hat{k}.
O produto escalar com \hat{n}=\hat{k} é
\vec{E}(x,y,0)\cdot\hat{n}=\vec{E}(x,y,0)\cdot\hat{k}=c\,x,
pois \hat{i}\cdot\hat{k}=0, \hat{j}\cdot\hat{k}=0 e \hat{k}\cdot\hat{k}=1.

Passo 5

Expressar a integral de superfície como integral dupla no plano xy.
Para uma superfície plana z=0 com \hat{n}=\hat{k}, o elemento de área é simplesmente dS=dx\,dy. O domínio de integração é o quadrado 0\le x\le1, 0\le y\le1. Então o fluxo é
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} c\,x \,dx\,dy.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro integramos em x:
\int_{x=0}^{1} c\,x \,dx = c\int_{0}^{1} x\,dx = c\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=c\cdot\frac{1}{2}=\frac{c}{2}.
Agora integramos em y sobre 0 a 1. Como resultado anterior não depende de y, temos
\Phi=\int_{y=0}^{1}\frac{c}{2}\,dy=\frac{c}{2}\left[y\right]_{0}^{1}=\frac{c}{2}\cdot 1=\frac{c}{2}.

Passo 7

Interpretação e observações finais.
  • O fluxo depende apenas da componente k do campo (componente normal à superfície). As componentes a\,y\,\hat{i} e b\,z\,\hat{j} não contribuem para o fluxo através do plano z=0 quando a normal é \hat{k}.
  • Se a orientação do normal fosse para baixo (isto é, \hat{n}=-\hat{k}), o fluxo seria -\dfrac{c}{2}.
  • Resultado final simples e direto: \Phi=\dfrac{c}{2}. Força: não se assuste com campos complicados — identifique a componente normal e integre sobre a área.

Resposta

\dfrac{c}{2}

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