Questão 01) Considere o campo elétrico
, sendo
e
constantes. Determine o fluxo deste campo elétrico através de uma superfície plana delimitada pelos pontos
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo elétrico
através de uma superfície plana delimitada pelos pontos
,
,
e
.
Informações dadas:
- O campo é
, com constantes. - A superfície é o quadrado no plano
com vértices , , , . Ou seja, é o conjunto dos pontos com , e .
O que é pedido:
- Calcular o fluxo do campo
através dessa superfície plana (ou seja, o valor da integral de superfície para a superfície indicada).
Passo 2
O que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície?
Explicação didática curta: o fluxo mede quantas “linhas” do campo atravessam a superfície por unidade de área, levando em conta direção. Matematicamente, para uma superfície
com vetor unitário normal
, o fluxo é
Aqui
é a componente do campo na direção normal (positivo se apontar no mesmo sentido de
, negativo caso contrário), e
é um elemento de área da superfície. Cada símbolo:
-
é o fluxo (número que queremos). -
é o campo vetorial dado. -
é o vetor unitário normal à superfície (tem módulo ). -
é a área infinitesimal sobre .
Passo 3
Escolha de método e orientação do normal.
Como a superfície é plana (plano
), o método mais simples é usar a fórmula direta
com
constante. Não há necessidade de parametrização complicada nem do teorema da divergência (que seria overkill aqui).
Precisamos escolher a orientação do normal. Vou assumir a orientação padrão “para cima”, isto é, o vetor normal unitário
onde
é o versor na direção
positiva. Se a orientação desejada fosse a oposta, o resultado teria sinal trocado; aqui uso
(orientação positiva).
Passo 4
Avaliar o campo sobre a superfície
e calcular o produto escalar.
Como na superfície
temos
, substituímos
em
. Assim
O produto escalar com
é
pois
,
e
.
Passo 5
Expressar a integral de superfície como integral dupla no plano
.
Para uma superfície plana
com
, o elemento de área é simplesmente
. O domínio de integração é o quadrado
,
. Então o fluxo é
Passo 6
Calcular a integral passo a passo.
Primeiro integramos em
:
Agora integramos em
sobre
a
. Como resultado anterior não depende de
, temos
Passo 7
Interpretação e observações finais.
- O fluxo depende apenas da componente
do campo (componente normal à superfície). As componentes e não contribuem para o fluxo através do plano quando a normal é . - Se a orientação do normal fosse para baixo (isto é,
), o fluxo seria . - Resultado final simples e direto:
. Força: não se assuste com campos complicados — identifique a componente normal e integre sobre a área.