Considere uma distribuição uniforme de cargas ao longo de um fio retilíneo finito de comprimento
. Seja
a carga total do fio. Determine o módulo do campo elétrico nos pontos situados a reta perpendicular ao fio e passando pelo seu centro. Discuta o resultado
Passo 1
O enunciado pede: “Dada uma distribuição uniforme de cargas ao longo de um fio retilíneo finito de comprimento
e carga total
, determinar o módulo do campo elétrico nos pontos situados na reta perpendicular ao fio que passa pelo seu centro.”
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Comprimento do fio:
. - Carga total do fio:
. - Distribuição: uniformemente espalhada ao longo do fio (densidade linear constante).
- Posição dos pontos onde queremos o campo: na reta perpendicular ao fio que passa pelo centro do fio; ou seja, pontos a uma distância
do centro, ao longo da bissetriz perpendicular.
O objetivo: encontrar o módulodo campo elétrico em função de , e . (Observação: corresponde ao ponto no centro do fio e está sobre o próprio fio; ali o campo é singular/indefinido para uma linha de carga ideal.)
Passo 2
Escolher coordenadas e quantidades básicas (método geométrico e físico). Vou colocar o fio ao longo do eixo
, com seu centro na origem, de modo que o fio vai de
até
. O ponto
onde calculamos o campo fica na reta perpendicular ao fio passando pela origem, no ponto de coordenada
(com
para identificar o módulo; a simetria garante que só importa
).
Definir a densidade linear de carga:
Definir a densidade linear de carga:
Usarei a constante
para escrever a Lei de Coulomb de forma compacta.
Passo 3
Expressar o campo devido a um elemento de carga e usar simetria.
Considere um elemento de comprimento do fio, localizado em coordenada
. A carga desse elemento é
Considere um elemento de comprimento
A distância entre o elemento e
é
Pela Lei de Coulomb, a contribuição infinitesimal de campo em módulo é
Essa contribuição aponta radialmente do elemento para
; decompondo em componentes, a componente ao longo da direção da reta perpendicular (eixo
) é multiplicada por
, com
. As componentes na direção
de elementos simétricos
e
se cancelam por simetria. Portanto a contribuição útil é
Passo 4
Montar a integral para o campo total. Somando (integrando) as contribuições de
até
obtemos o módulo do campo ao longo do eixo
:
O objetivo agora é calcular a integral
Passo 5
Calcular a integral
. Uma forma prática é usar a substituição trigonométrica
. Então:
Substituindo na integral (e observando os limites): quando
tem-se
; quando
tem-se
. Como a integranda é par, posso calcular de
a
e multiplicar por
. Procedo direto na integral completa:
Agora os limites simétricos dão
Usando a identidade geométrica
, com
, obtemos
Substituindo de volta em
,
Passo 6
Substituir
na expressão de
. Lembrando que
e
, temos
Como
, isso simplifica para
Esse é o módulo do campo elétrico no ponto da bissetriz perpendicular a uma distância
do centro do fio.
Passo 7
Discussão física e limites:
- Direção: o campo aponta ao longo da reta perpendicular (para fora do fio se
, para dentro se ). O módulo é dado pela expressão acima; o sinal de direção é radial em relação ao fio. - Comportamento quando
: a expressão diverge como para (pois o fator nesse regime). Isso reflete a singularidade da linha de carga idealmente fina: no próprio fio (ou muito perto), o campo tende a infinito. Na prática, fios reais têm espessura e a descrição de linha deixa de valer perto do condutor. - Caso
(ponto muito próximo ao fio, comparado ao comprimento): aproximando , obtém-se
que é exatamente o comportamento do campo de uma linha infinita de carga:
. Assim, perto do centro e para fios longos o campo local se aproxima do caso infinitamente longo.
- Caso
(ponto muito longe do fio): , então
que é o comportamento de um ponto de carga
visto de longe (o fio age como uma carga concentrada no centro). Isso mostra a transição esperada entre os regimes “linha” e “ponto”.