Considere o escoamento de um fluido com viscosidade \mu e massa específica \rho desenvolvido no interior de um trecho de tubulação de seção transversal circular e diâmetro constante. Adotandose o sistema de coordenadas cilíndricas (sendo r o eixo radial, \theta o eixo angular e x o eixo axial), sabe-se que o perfil radial de velocidades é parabólico. Trata-se de um escoamento unidimensional axial e completamente desenvolvido. A velocidade máxima do escoamento é U, r é o eixo radial e R é o raio da tubulação. Considere o fluido Newtoniano e incompressível e escoamento permanente.
a) Esquematize o perfil de velocidade no interior da tubulação indicando onde ocorre a velocidade máxima U e os eixos (explique detalhadamente as considerações feitas);
b) Deduza a expressão matemática do perfil radial parabólico de velocidades no interior da tubulação utilizando-se do conceito da condição de não-deslizamento e da equação da parábola;
c) Explique fisicamente a lei da viscosidade de Newton. Dê as unidades no SI de todas as variáveis envolvidas;
d) Deduza uma expressão algébrica que permita calcular a força cisalhante por unidade de comprimento da tubulação exercida sobre as suas paredes;
e) Esquematize a modificação que seria observada no escoamento se a jusante do trecho em análise houvesse o aumento do diâmetro da tubulação.
Equações importantes:
  • Lei da viscosidade de Newton
    \tau=\mu \frac{d u}{d y}
  • Viscosidade cinemática
    v=\frac{\mu}{\rho}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado nos dá:
  • Escoamento em uma tubulação cilíndrica de raio R (diâmetro constante no trecho considerado).
  • Coordenadas cilíndricas (r,\theta,x), com r radial, \theta angular e x axial.
  • Escoamento unidimensional axial, permanente, incompressível, Newtoniano e completamente desenvolvido.
  • Perfil radial de velocidades é parabólico e a velocidade máxima no centro é U.
  • Viscosidade dinâmica do fluido \mu e massa específica \rho. Viscosidade cinemática \nu=\dfrac{\mu}{\rho}.
O enunciado pede:
a) Esquematizar o perfil de velocidade indicando onde ocorre a velocidade máxima U e os eixos (explicar considerações).
b) Deduzir matemat. do perfil radial parabólico usando condição de não-deslizamento e “equação da parábola” (ou seja, encontrar u(r)).
c) Explicar fisicamente a lei da viscosidade de Newton e dar unidades SI de todas as variáveis envolvidas.
d) Deduzir expressão algébrica para a força cisalhante por unidade de comprimento da tubulação exercida sobre as paredes.
e) Esquematizar o que muda no escoamento se a jusante houver aumento do diâmetro (explicar fisicamente).
Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Entender e justificar as hipóteses físicas e as condições de contorno (muito importante antes de derivar fórmulas).
  • “Escoamento unidimensional axial e completamente desenvolvido” significa que a velocidade tem apenas componente axial e depende apenas de r:
\vec{u} = u_x(r)\,\hat{x},\qquad u_x\equiv u(r).
Não há dependência em x (isto é, \partial u/\partial x=0) porque o perfil já está estabelecido ao longo do eixo: forma não muda com x.
  • Simetria no eixo: no centro ( r=0) o perfil é regular e o gradiente radial da velocidade é nulo:
\left.\frac{du}{dr}\right|_{r=0}=0.
Isto decorre da simetria axial (não existe direção preferencial radial no centro).
  • Condição de não-deslizamento (no-slip) na parede: o fluido em contato com a parede tem velocidade igual à velocidade da parede. Considerando parede fixa:
u(R)=0.
  • Como o fluido é Newtoniano, a tensão cortante relacionada ao gradiente de velocidade obedece à lei de Newton da viscosidade (será usada explicitamente).
Com essas hipóteses podemos aplicar o balanço de momento axial simplificado (ou reduzir a equação de Navier–Stokes) para obter a equação diferencial para u(r).

Passo 3

Esquema qualitativo do perfil (resposta à alínea a) com explicações).
Descrição do esboço:
  • Eixos: eixo horizontal representando o raio r variando de 0 (centro) até R (parede); eixo vertical representando a velocidade axial u.
  • Forma: curva em concavidade para baixo com máximo no centro. A velocidade máxima U ocorre no centro do tubo, em r=0: u(0)=U.
  • Condições na parede: u(R)=0 (não-deslizamento).
  • Simetria: curva é simétrica em torno do eixo r=0 (mas normalmente desenha-se só a metade positiva r\ge0).
Por que isso ocorre (explicação física curta e clara):
  • Atrito viscoso com a parede faz a velocidade ser nula na parede (no-slip). Próximo à parede o fluido é “puxado” pela camada sólida, gerando gradientes de velocidade. Em direção ao centro há menos atrito direto com a parede, por isso a velocidade aumenta até um máximo no centro. Para escoamento laminar e totalmente desenvolvido a solução matemática dá um perfil parabólico (abrir-se-á a dedução no passo seguinte).

Passo 4

Dedução matemática do perfil parabólico (início da dedução para a alínea b). Usar balanço de momento em coordenadas cilíndricas.
Para escoamento axisimétrico, unidirecional e permanente, a equação de momento axial simplificada (obtida de Navier–Stokes) reduz-se a
0 = -\frac{dP}{dx} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,\tau_{r x}\right),
onde \tau_{r x} é a componente de tensão cortante que atua na direção x sobre superfícies de normal radial. Aqui \dfrac{dP}{dx} é o gradiente de pressão ao longo do eixo (constante no trecho, pois a equação não depende de x explicitamente em regime desenvolvido).
Como o fluido é Newtoniano,
\tau_{r x}=\mu\frac{du}{dr}.
Substituindo:
0 = -\frac{dP}{dx} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,\mu\frac{du}{dr}\right) \quad\Longrightarrow\quad \mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{dP}{dx}.
Note que \dfrac{dP}{dx} é uma constante (função apenas de x, e para fluxo completamente desenvolvido ela é constante ao longo do trecho).

Passo 5

Integrar a equação diferencial (continuação da alínea b).
A equação é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}.
Multiplicando por r e integrando em r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{r}{\mu}\frac{dP}{dx}.
Integração primeira:
r\frac{du}{dr}=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\cdot\frac{r^{2}}{2}+C_1.
Para que a derivada \dfrac{du}{dr} seja finita em r=0 e pela simetria (não ter termo singular \sim 1/r), exige-se C_1=0. Assim
\frac{du}{dr}=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\cdot\frac{r}{2}.
Integração segunda:
u(r)=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\cdot\frac{r^{2}}{4}+C_2.
Impor condição de não-deslizamento u(R)=0
0=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\cdot\frac{R^{2}}{4}+C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2=-\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\cdot\frac{R^{2}}{4}.
Portanto
u(r)=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\cdot\frac{r^{2}-R^{2}}{4}.
Observação sobre o sinal: normalmente \dfrac{dP}{dx}<0 (pressão decresce no sentido do escoamento), então u(r)>0. Para tornar a expressão mais usual, defina a velocidade máxima no centro
U\equiv u(0)=-\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\cdot\frac{R^{2}}{4}.
Substituindo, obtemos a forma clássica do perfil parabólico:
\boxed{\,u(r)=U\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right)\,}.
Isto responde a b): função parabólica em r, máxima U em r=0 e nula em r=R.

Passo 6

Resultados auxiliares úteis (para interpretação e para usar na prova).
  • Vazão volumétrica Q:
Q=\int_{0}^{R} 2\pi r\,u(r)\,dr =2\pi\int_{0}^{R} r\,U\Big(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\Big)dr =\frac{\pi R^{2}U}{2}.
Logo a velocidade média na seção é
\bar{u}=\frac{Q}{\pi R^{2}}=\frac{U}{2}.
  • Relação entre gradiente de pressão e U:
-\frac{dP}{dx}=\frac{4\mu U}{R^{2}}.
Essas fórmulas são muito úteis para transformar expressões entre U, Q e \dfrac{dP}{dx}.

Passo 7

Explicação física da lei da viscosidade de Newton e unidades SI (alínea c).
Explicação física (maior nível de didática):
  • A lei de Newton para fluidos diz que a tensão de cisalhamento local \tau é proporcional ao gradiente de velocidade (velocidade relativa por unidade de distância) nas direções apropriadas. Fisicamente: camadas vizinhas do fluido deslizam umas sobre as outras; a viscosidade \mu mede a resistência interna desse deslizamento. Quanto maior o gradiente de velocidade, maior a força por unidade de área necessária para manter esse movimento relativo.
  • Em notação unidimensional simples a lei é escrita como
\boxed{\,\tau=\mu\frac{du}{dy}\,}
onde \tau é a tensão de cisalhamento (força por área), \mu é a viscosidade dinâmica e \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade perpendicular à direção do esforço.
Unidades no Sistema Internacional (SI) das principais grandezas citadas:
  • Tensão de cisalhamento \tau: pascal (\mathrm{Pa}) que equivale a \mathrm{N/m^{2}}.
  • Viscosidade dinâmica \mu: \mathrm{Pa\cdot s} (ou \mathrm{N\cdot s / m^{2}}).
  • Gradiente de velocidade \dfrac{du}{dy}: \mathrm{s^{-1}}.
  • Velocidade U, u(r): \mathrm{m/s}.
  • Raio R e r: \mathrm{m}.
  • Densidade \rho: \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade cinemática \nu=\dfrac{\mu}{\rho}: \mathrm{m^{2}/s}.
  • Gradiente de pressão \dfrac{dP}{dx}: \mathrm{Pa/m} equivalendo a \mathrm{N/m^{3}}.

Passo 8

Força cisalhante por unidade de comprimento (alínea d). Calcular \tau na parede e multiplicar pelo perímetro para obter força por comprimento.
Tensão de cisalhamento radial-axial:
\tau_{r x}(r)=\mu\frac{du}{dr}.
Derivando u(r)=U\left(1-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right):
\frac{du}{dr} = U\left(-\frac{2r}{R^{2}}\right).
Na parede r=R:
\left.\tau_{r x}\right|_{r=R}=\mu\left(-\frac{2U}{R}\right).
O sinal negativo indica que a tensão atua no sentido oposto do eixo x (orientação). A magnitude da tensão de cisalhamento na parede é
\tau_{w}=\left|\left.\tau_{r x}\right|_{r=R}\right|=\frac{2\mu U}{R}.
Força cisalhante por unidade de comprimento axial (isto é, força que a parede exerce sobre o fluido por unidade de comprimento 1 m na direção x):
  • perímetro da seção circular: 2\pi R.
  • Logo a força por unidade de comprimento F' (N por metro de comprimento) é
\boxed{\,F' = \tau_{w}\cdot 2\pi R = \frac{2\mu U}{R}\cdot 2\pi R = 4\pi \mu U\,.}
Expressões equivalentes úteis:
F' = 4\pi \mu U = -\pi R^{2}\frac{dP}{dx},
pois -\dfrac{dP}{dx}=\dfrac{4\mu U}{R^{2}}. A forma -\pi R^{2}\dfrac{dP}{dx} mostra que a força viscosa por comprimento é igual à força resultante da queda de pressão por comprimento multiplicada pela área da seção.

Passo 9

Efeito de aumento de diâmetro a jusante (alínea e): explicação física e expressão para o novo U se o fluxo volumétrico Q permanecer constante.
Casos a distinguir:
  1. Expansão gradual e suave (construtivo ideal, sem separação):
  • A vazão Q é conservada. Se antes tinha-se raio R_1 com velocidade máxima U_1 e depois raio R_2>R_1 com máxima U_2, da conservação de vazão (usando relação Q=\dfrac{\pi R^{2}U}{2}):
\frac{\pi R_1^{2}U_{1}}{2}=\frac{\pi R_2^{2}U_{2}}{2} \quad\Rightarrow\quad U_{2}=U_{1}\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{2}.
Ou seja, a velocidade máxima diminui aproximadamente com (R_1/R_2)^2. O perfil continua parabólico no novo trecho quando o escoamento volta a ficar completamente desenvolvido, mas com menor amplitude e maior comprimento de desenvolvimento até estabilizar.
  1. Expansão súbita (sudden expansion):
  • Haverá desaceleração brusca perto da parede; pode ocorrer separação do escoamento e formação de zonas de recirculação perto da parede (pequenos redemoinhos), perda de carga adicional e perfil não parabólico logo após a expansão. Depois de um certo comprimento de recuperação (comprimento de entrada para o novo diâmetro), o escoamento redevelopa e tende novamente a um perfil parabólico correspondente ao novo raio R_2 e à mesma vazão Q.
  • Em resumo: aumento de diâmetro reduz velocidades médias e máximas; se a mudança é brusca pode causar separação e recirculação, aumentando perdas dissipativas.

Resposta

a) Perfil parabólico com máximo U no centro r=0 e u(R)=0; eixo radial r (horizontal) e velocidade axial u (vertical).
b) \displaystyle u(r)=U\Big(1-\big(\tfrac{r}{R}\big)^{2}\Big), com \displaystyle U=-\frac{R^{2}}{4\mu}\frac{dP}{dx}.
c) Lei de Newton: \tau=\mu\,\dfrac{du}{dy}. Explicação: tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade; \mu mede a resistência interna ao deslizamento entre camadas. Unidades SI: \tau em \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}}, \mu em \mathrm{Pa\cdot s}, du/dy em \mathrm{s^{-1}}, \rho em \mathrm{kg/m^{3}}, \nu=\mu/\rho em \mathrm{m^{2}/s}, U e u em \mathrm{m/s}, R,r em \mathrm{m}.
d) Tensão na parede \tau_{w}=\dfrac{2\mu U}{R}. Força cisalhante por unidade de comprimento: F'=\tau_{w}\,2\pi R=4\pi\mu U (equivalente a F'=-\pi R^{2}\dfrac{dP}{dx}).
e) Com aumento do diâmetro jusante e mesma vazão Q: U_{2}=U_{1}\big(R_{1}/R_{2}\big)^{2} (perfil parabólico de menor amplitude quando redevelopado). Se a expansão for súbita, ocorre desenvolvimento novamente do perfil, possível separação e recirculação perto da parede e maiores perdas de energia antes de se restabelecer o perfil parabólico.

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