Verifique a convergência das seguintes séries
\sum \frac{1+(-1)^{n}}{4^{2 n}}

Passo 1

O enunciado dá a série (assumindo a soma desde n=1 até infinito)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+(-1)^{n}}{4^{2n}}.
O que se pede: verificar se a série converge e, se convergente, determinar o seu somatório. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é \dfrac{1+(-1)^{n}}{4^{2n}}.
  • O expoente do denominador é 4^{2n}, que pode ser simplificado.
  • O numerador envolve (-1)^{n}, que depende da paridade de n.

Passo 2

Primeiro simplificar o denominador para uma forma mais conveniente. Usando potências,
4^{2n}=(4^{2})^{n}=16^{n}.
Logo o termo geral pode ser escrito como
\frac{1+(-1)^{n}}{4^{2n}}=\frac{1+(-1)^{n}}{16^{n}}.

Passo 3

Analisar o numerador 1+(-1)^{n} usando paridade de n.
  • Se n é par, n=2k, então (-1)^{n}=(-1)^{2k}=1 e portanto 1+(-1)^{n}=1+1=2.
  • Se n é ímpar, n=2k+1, então (-1)^{n}=-1 e 1+(-1)^{n}=1-1=0.
Portanto os termos da série são 0 para índices ímpares e 2/16^{n} para índices pares.

Passo 4

Como somente os termos com n par contribuem, reindexamos a soma pelos ímpares nulos removidos. Escrevendo n=2k com k=1,2,\dots, obtemos para os termos não nulos:
\frac{1+(-1)^{2k}}{16^{2k}}=\frac{2}{16^{2k}}.
Note que 16^{2k}=(16^{2})^{k}=256^{k}. Assim a série original passa a ser
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+(-1)^{n}}{16^{n}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{256^{k}}.

Passo 5

Reconhecemos \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2}{256^{k}} como uma série geométrica multiplicada por 2. Escrevendo
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{256^{k}}=2\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{256}\right)^{k},
temos uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{256}. Lembrete da fórmula e critério de convergência para séries geométricas:
  • A série geométrica \sum_{k=1}^{\infty} r^{k} converge se, e somente se, |r|<1.
  • Quando |r|<1, vale a soma
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k}=\frac{r}{1-r}.
Aqui |r|=\dfrac{1}{256}<1, logo a série converge.

Passo 6

Aplicando a fórmula da soma geométrica:
2\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{256}\right)^{k} =2\cdot\frac{\dfrac{1}{256}}{1-\dfrac{1}{256}} =2\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{1}{256}}.
Calcular o denominador 1-\dfrac{1}{256}=\dfrac{255}{256}. Assim
2\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{1}{\dfrac{255}{256}} =2\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{256}{255} =\frac{2}{255}.

Passo 7

Comentário sobre convergência absoluta: todos os termos da série são \ge 0 (porque são 0 para n ímpar e positivos para n par). Logo a série de valores absolutos é a própria série, portanto a convergência é absoluta. Conclusão: a série converge absolutamente e tem soma finita.

Resposta

A série converge absolutamente e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+(-1)^{n}}{4^{2n}}=\frac{2}{255}.

Exercícios relacionados