Verifique a convergência das seguintes séries
Passo 1
O enunciado dá a série (assumindo a soma desde
até infinito)
O que se pede: verificar se a série converge e, se convergente, determinar o seu somatório. Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - O expoente do denominador é
, que pode ser simplificado. - O numerador envolve
, que depende da paridade de .
Passo 2
Primeiro simplificar o denominador para uma forma mais conveniente. Usando potências,
Logo o termo geral pode ser escrito como
Passo 3
Analisar o numerador
usando paridade de
.
- Se
é par, , então e portanto . - Se
é ímpar, , então e .
Portanto os termos da série são
para índices ímpares e
para índices pares.
Passo 4
Como somente os termos com
par contribuem, reindexamos a soma pelos ímpares nulos removidos. Escrevendo
com
, obtemos para os termos não nulos:
Note que
. Assim a série original passa a ser
Passo 5
Reconhecemos
como uma série geométrica multiplicada por
. Escrevendo
temos uma série geométrica com razão
. Lembrete da fórmula e critério de convergência para séries geométricas:
- A série geométrica
converge se, e somente se, . - Quando
, vale a soma
Aqui
, logo a série converge.
Passo 6
Aplicando a fórmula da soma geométrica:
Calcular o denominador
. Assim
Passo 7
Comentário sobre convergência absoluta: todos os termos da série são
(porque são
para
ímpar e positivos para
par). Logo a série de valores absolutos é a própria série, portanto a convergência é absoluta. Conclusão: a série converge absolutamente e tem soma finita.
Resposta
A série converge absolutamente e
.