Desafio 1. Prove que:
Todo número racional
(a fração é irredutível), e onde
,
é um primo,
e
, pode ser representado como uma dizima periódica.
Todo número racional
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se temos uma fração irredutível
com
em que
é primo diferente de 2 e 5, então sua expansão decimal é periódica. O conteúdo aqui é algoritmo da divisão (para gerar dígitos decimais) e o princípio da casa dos-pombos (para mostrar repetição de restos), além do fato de que
.
Passo 2
Como
e
, concluímos que
não contém fatores de 2 nem de 5. Logo
. Isso garante que nenhum múltiplo de 10 “cancele” completamente o denominador, impedindo o término da expansão.
Passo 3
Aplicamos o algoritmo da divisão: escrevemos
com
. Para gerar dígitos decimais, iteramos para
:
e definimos o dígito decimal
. Assim obtemos a expansão
Passo 4
Como
e
não é potência de 2 nem de 5, não existe
tal que
(caso contrário
dividiria um múltiplo de 10 sem fator comum, forçando
, contradizendo a irredutibilidade). Então a sequência de restos
é infinita e nunca chega a zero.
Os restos só podem assumir valores em
, ou seja, há no máximo
valores diferentes. Pela casa dos-pombos, dois restos se repetem: existem
tais que
. Isso faz com que o bloco de dígitos
se repita indefinidamente.
Os restos
Passo 5
Portanto, a expansão decimal de
não termina e, por haver repetição de restos, é uma dízima periódica.
Resposta
A expansão decimal de
é uma dízima periódica.