Desafio 1. Prove que:
Todo número racional mn, com mdc(m, n)=1 (a fração é irredutível), e onde n=N p, N in Z, p é um primo, p neq 2 e p neq 5, pode ser representado como uma dizima periódica.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se temos uma fração irredutível m/n com n=Np em que p é primo diferente de 2 e 5, então sua expansão decimal é periódica. O conteúdo aqui é algoritmo da divisão (para gerar dígitos decimais) e o princípio da casa dos-pombos (para mostrar repetição de restos), além do fato de que gcd(n,10)=1.

Passo 2

Como n=Np e pneq2,5, concluímos que n não contém fatores de 2 nem de 5. Logo gcd(n,10)=1. Isso garante que nenhum múltiplo de 10 “cancele” completamente o denominador, impedindo o término da expansão.

Passo 3

Aplicamos o algoritmo da divisão: escrevemos
m = n q0 + r0,
com 0<= r0< n. Para gerar dígitos decimais, iteramos para k>=1:
10,rk-1 = n,qk + rk, 0<= rk< n,
e definimos o dígito decimal ak = qk. Assim obtemos a expansão
mn = q0a1a2a3dots

Passo 4

Como gcd(n,10)=1 e n não é potência de 2 nem de 5, não existe k tal que rk=0 (caso contrário n dividiria um múltiplo de 10 sem fator comum, forçando nmid r0, contradizendo a irredutibilidade). Então a sequência de restos (rk) é infinita e nunca chega a zero.
Os restos rk só podem assumir valores em 1,2,dots,n-1, ou seja, há no máximo n-1 valores diferentes. Pela casa dos-pombos, dois restos se repetem: existem i tais que ri=rj. Isso faz com que o bloco de dígitos ai+1ai+2dots aj se repita indefinidamente.

Passo 5

Portanto, a expansão decimal de m/n não termina e, por haver repetição de restos, é uma dízima periódica.

Resposta

A expansão decimal de tfracmn é uma dízima periódica.

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