Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
integralC f(z) d z=0
se o caminho C for o círculo unitário |z|=1, com qualquer orientação, e sendo
f(z)=z^2z+3;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha fechada integralC f(z),dz=0, onde o caminho C é o círculo unitário |z|=1 e f(z)=z^2z+3. Vamos usar o Teorema de Cauchy–Goursat, que diz que se uma função é holomorfa em uma região simplesmente conexa que contém o caminho fechado, então a integral ao longo desse caminho é zero.

Passo 2

Primeiro identificamos as singularidades de f(z)=z^2z+3. A única singularidade é em z=-3, proveniente do denominador z+3=0.
Observamos que z=-3 fica fora do disco |z|<=1, pois |-3|=3>1. Logo, f(z) é holomorfa em toda a região interior ao círculo unitário e em seu contorno.

Passo 3

Como f é holomorfa na região simplesmente conexa delimitada por C, pelo Teorema de Cauchy–Goursat temos
integralC f(z),dz = 0,independente da orientação de C.

Resposta

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