Lista de Exercícios de Estabilidade: (3,5 Ptos.)
N0 : é o número de ordem na lista de chamada.
Determine todos os pontos críticos dos seguintes SEDA Planos:
lx^prime=x(x^2+y^2-2)-2 x y^2 y^prime=4 x^2 y+y(x^2+y^2-N0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos (equilíbrios) do sistema planar autônomo, ou seja, os valores de (x,y) tais que x'=0 e y'=0. Vamos usar teoria de EDOs autônomas e fatoração para achar todas as soluções.

Passo 2

Primeiro a gente reorganiza e fatora cada derivada. Temos
x' = xl(x^2+y^2-2r) - 2xy^2 = xl(x^2 - y^2 - 2r),
y' = 4x^2y + yl(x^2 + y^2 - N0r) = yl(5x^2 + y^2 - N0r) ]
Assim, as condições para equilíbrio são:
xl(x^2 - y^2 - 2r) = 0, yl(5x^2 + y^2 - N0r) = 0

Passo 3

Isso gera quatro casos básicos:
  1. x=0 e y=0.
  2. x=0 e 5x^2 + y^2 - N0 = 0 leva a y^2=N0.
  3. y=0 e x^2 - y^2 - 2 = 0 leva a x^2=2.
  4. xneq0 e yneq0, resolvendo simultaneamente
x^2 - y^2 - 2 = 0,
5x^2 + y^2 - N0 = 0

Passo 4

Do último sistema, substituindo x^2 = y^2+2 na segunda equação,
5(y^2+2) + y^2 - N0 = 0 implies 6y^2 + 10 - N0 = 0 implies y^2 = N0-106,
e então
$$x^2 = y^2 + 2 = \frac{N_0-10}{6} + 2 = \frac{N_0+2}{6}.
$$

Passo 5

Para esses pontos existirem é preciso y^2>=0, ou seja N0>=10.

Resposta

Os pontos críticos são:
(1) (0,0);
(2) l(0,pmraizN0r), desde que N0>=0;
(3) (pmraiz2,0);
(4) se N0>=10, ainda existem
l(pmraiztfracN0+26,pmraiztfracN0-106r) (todas as combinações de sinais).

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