Lista de Exercícios de Estabilidade: (3,5 Ptos.)
: é o número de ordem na lista de chamada.
Determine todos os pontos críticos dos seguintes SEDA Planos:
Determine todos os pontos críticos dos seguintes SEDA Planos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos (equilíbrios) do sistema planar autônomo, ou seja, os valores de
tais que
e
. Vamos usar teoria de EDOs autônomas e fatoração para achar todas as soluções.
Passo 2
Primeiro a gente reorganiza e fatora cada derivada. Temos
Assim, as condições para equilíbrio são:
Passo 3
Isso gera quatro casos básicos:
-
e . -
e leva a . -
e leva a . -
e , resolvendo simultaneamente
Passo 4
Do último sistema, substituindo
na segunda equação,
e então
$$x^2 = y^2 + 2 = \frac{N_0-10}{6} + 2 = \frac{N_0+2}{6}.
$$
Passo 5
Para esses pontos existirem é preciso
, ou seja
.
Resposta
Os pontos críticos são:
(1) ;
(2) , desde que
;
(3) ;
(4) se , ainda existem
(todas as combinações de sinais).
(1)
(2)
(3)
(4) se