Desafio 1. Prove que:
Um número racional mn, com mdc(m, n)=1 (a fração é irredutível), pode ser representado como um decimal finito se, e somente se, n=2^j 5^k, onde j, k in0,1,2,3, ldots.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um número racional na forma mn, onde gcd(m, n) = 1 (ou seja, a fração está irredutível), pode ser escrito como um decimal finito se e somente se o denominador n for igual a 2^j cdot 5^k, onde j e k são números inteiros não negativos. Vamos usar conceitos de frações, decimais e fatoração de números para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um decimal finito. Um número tem uma representação decimal finita quando, após certo número de casas decimais, os dígitos terminam, ou seja, não continuam infinitamente. Por exemplo, 0,5 e 0,75 são decimais finitos, enquanto 0,3 (0.333…) não é.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que qualquer número racional pode ser expresso como uma fração mn, onde m e n são inteiros e a fração está simplificada ao máximo (irreducível). Queremos saber quando essa fração resulta em um decimal finito.

Passo 4

Para que a fração mn tenha um decimal finito, o denominador n (após simplificado) deve apenas ter como fatores primos os números 2 e 5. Isso ocorre porque o sistema decimal é baseado em potências de 10, e 10 = 2 times 5. Assim, se n for composto apenas por 2s e 5s, a divisão mn terminará após um certo número de casas decimais.

Passo 5

Vamos provar a afirmação em duas partes:
  1. Se n = 2^j cdot 5^k, então mn é um decimal finito.
  2. Se mn é um decimal finito, então n = 2^j cdot 5^k.

Passo 6

Parte 1: Suponha que n = 2^j cdot 5^k. Queremos mostrar que mn é um decimal finito.
Como 10 = 2 times 5, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por 2^k cdot 5^j (o suficiente para equilibrar os fatores de 2 e 5 no denominador):
m2^j cdot 5^k = m cdot 2^k cdot 5^j2^j cdot 5^k cdot 2^k cdot 5^j = m cdot 2^k cdot 5^j10^j+k
Isso resulta em um número com j + k casas decimais, ou seja, um decimal finito.

Passo 7

Parte 2: Agora, suponha que mn seja um decimal finito. Queremos mostrar que n deve ser da forma 2^j cdot 5^k.
Se mn é um decimal finito, então podemos escrever:
mn = p10^s onde p é inteiro e s é um inteiro positivo éé
Isso implica que:
n cdot p = m cdot 10^s = m cdot 2^s cdot 5^s
Como gcd(m, n) = 1, os fatores de n devem estar nos fatores de 10^s, ou seja, n deve ser composto apenas por 2s e 5s.
Portanto, n pode ser expresso como 2^j cdot 5^k para alguns inteiros não negativos j e k.

Resposta

Então, mostramos que uma fração irredutível mn tem uma representação decimal finita se e somente se o denominador n for da forma 2^j cdot 5^k. Isso confirma a afirmação proposta no desafio!

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