Desafio 1. Prove que:
Um número racional
(a fração é irredutível), pode ser representado como um decimal finito se, e somente se,
, onde
.
Um número racional
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um número racional na forma
, onde
(ou seja, a fração está irredutível), pode ser escrito como um decimal finito se e somente se o denominador
for igual a
, onde
e
são números inteiros não negativos. Vamos usar conceitos de frações, decimais e fatoração de números para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um decimal finito. Um número tem uma representação decimal finita quando, após certo número de casas decimais, os dígitos terminam, ou seja, não continuam infinitamente. Por exemplo,
e
são decimais finitos, enquanto
(0.333…) não é.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que qualquer número racional pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e a fração está simplificada ao máximo (irreducível). Queremos saber quando essa fração resulta em um decimal finito.
Passo 4
Para que a fração
tenha um decimal finito, o denominador
(após simplificado) deve apenas ter como fatores primos os números 2 e 5. Isso ocorre porque o sistema decimal é baseado em potências de 10, e
. Assim, se
for composto apenas por 2s e 5s, a divisão
terminará após um certo número de casas decimais.
Passo 5
Vamos provar a afirmação em duas partes:
- Se
, então é um decimal finito. - Se
é um decimal finito, então .
Passo 6
Parte 1: Suponha que
. Queremos mostrar que
é um decimal finito.
Como
, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por
(o suficiente para equilibrar os fatores de 2 e 5 no denominador):
Isso resulta em um número com
casas decimais, ou seja, um decimal finito.
Passo 7
Parte 2: Agora, suponha que
seja um decimal finito. Queremos mostrar que
deve ser da forma
.
Se
é um decimal finito, então podemos escrever:
Isso implica que:
Como
, os fatores de
devem estar nos fatores de
, ou seja,
deve ser composto apenas por 2s e 5s.
Portanto,
pode ser expresso como
para alguns inteiros não negativos
e
.
Resposta
Então, mostramos que uma fração irredutível
tem uma representação decimal finita se e somente se o denominador
for da forma
. Isso confirma a afirmação proposta no desafio!