Determine o raio de convergência e o intervalo de divergência de cada série de potências abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o raio de convergência e o intervalo de divergência da seguinte série de potências:
Isso envolve conceitos de séries de potências e, mais especificamente, teste de convergência. Vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e, a partir daí, o intervalo onde a série diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar a convergência de séries. O teste diz que, para uma série , se o limite
for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série:
ak = 10^k x^kk^3
Agora, encontramos ak+1:
ak+1 = 10^k+1 x^k+1(k+1)^3
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão:
L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | 10^k+1 x^k+1 / (k+1)^310^k x^k / k^3 |
Simplificando a expressão:
L = limk to infty | 10 cdot x cdot k^3(k+1)^3 |
Passo 5
Vamos calcular o limite:
L = |10x| cdot limk to infty ( kk+1 )^3
Sabemos que:
limk to infty kk+1 = 1
Portanto:
L = |10x| cdot 1^3 = |10x|
Passo 6
Para que a série convirja, precisamos que L < 1:
|10x| < 1
Resolvendo para x:
|x| < 110
Passo 7
O raio de convergênciaR é o valor tal que |x| < R garante a convergência da série. Então:
R = 110
Passo 8
Agora, para determinar o intervalo de divergência, sabemos que a série converge quando |x| < 110 e diverge quando |x| > 110. Nos pontos onde |x| = 110, precisaremos testar separadamente, mas geralmente, a série tende a divergir nesses pontos devido ao crescimento do termo 10^k x^k.
Resposta
O raio de convergência é R = dfrac110 e o intervalo de divergência é todo x tal que |x| > dfrac110.