Determine o raio de convergência e o intervalo de divergência de cada série de potências abaixo.
sumk=1^infty 10^k x^kk^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o raio de convergência e o intervalo de divergência da seguinte série de potências:
sumk=1^infty 10^k x^kk^3
Isso envolve conceitos de séries de potências e, mais especificamente, teste de convergência. Vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e, a partir daí, o intervalo onde a série diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar a convergência de séries. O teste diz que, para uma série sum ak, se o limite
L = limk to infty | ak+1ak |
for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
ak = 10^k x^kk^3
Agora, encontramos ak+1:
ak+1 = 10^k+1 x^k+1(k+1)^3

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | 10^k+1 x^k+1 / (k+1)^310^k x^k / k^3 |
Simplificando a expressão:
L = limk to infty | 10 cdot x cdot k^3(k+1)^3 |

Passo 5

Vamos calcular o limite:
L = |10x| cdot limk to infty ( kk+1 )^3
Sabemos que:
limk to infty kk+1 = 1
Portanto:
L = |10x| cdot 1^3 = |10x|

Passo 6

Para que a série convirja, precisamos que L < 1:
|10x| < 1
Resolvendo para x:
|x| < 110

Passo 7

O raio de convergência R é o valor tal que |x| < R garante a convergência da série. Então:
R = 110

Passo 8

Agora, para determinar o intervalo de divergência, sabemos que a série converge quando |x| < 110 e diverge quando |x| > 110. Nos pontos onde |x| = 110, precisaremos testar separadamente, mas geralmente, a série tende a divergir nesses pontos devido ao crescimento do termo 10^k x^k.

Resposta

O raio de convergência é R = dfrac110 e o intervalo de divergência é todo x tal que |x| > dfrac110.

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