(9) Desafio: Utilizando derivação implícita, calcule y^{\prime}(0), sendo y(x)=\sqrt{5+x^{2} \sqrt{5+x^{2} \sqrt{\cdots}}}.
Passo 1
O enunciado define
que é uma raiz infinita. Para resolver precisamos reconhecer que isso gera uma equação implícita em
e então usar derivação implícita para encontrar
, depois avaliar em
.
Passo 2
Como a expressão dentro da raiz repete
inteira, temos
Elevando ao quadrado, obtemos a relação implícita
Passo 3
Diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, por regra da cadeia:
No direito, usando produto em
:
Logo a diferenciação implícita dá
Passo 4
Isolamos
. Passamos
para o lado esquerdo:
e portanto
Passo 5
Para avaliar em
precisamos de
. Na equação
, ao pôr
vem
(escolhemos o sinal positivo para a raiz). Substituindo em
: