(9) Desafio: Utilizando derivação implícita, calcule y^{\prime}(0), sendo y(x)=\sqrt{5+x^{2} \sqrt{5+x^{2} \sqrt{\cdots}}}.

Passo 1

O enunciado define
y(x)=raiz5 + x^2raiz5 + x^2raizcdots
que é uma raiz infinita. Para resolver precisamos reconhecer que isso gera uma equação implícita em y e então usar derivação implícita para encontrar y'(x), depois avaliar em x=0.

Passo 2

Como a expressão dentro da raiz repete y inteira, temos
y = raiz5 + x^2y
Elevando ao quadrado, obtemos a relação implícita
y^2 = 5 + x^2y

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, por regra da cadeia:
ddx(y^2) = 2y,y'
No direito, usando produto em x^2y:
ddxl(5 + x^2yr) = 2x,y + x^2y'
Logo a diferenciação implícita dá
2y,y' = 2x,y + x^2y'

Passo 4

Isolamos y'. Passamos x^2y' para o lado esquerdo:
2y,y' - x^2y' = 2x,y Longrightarrow y'l(2y - x^2r)=2x,y
e portanto
y' = 2x,y2y - x^2

Passo 5

Para avaliar em x=0 precisamos de y(0). Na equação y^2=5+x^2y, ao pôr x=0 vem
y(0)^2=5 Longrightarrow y(0)=raiz5
(escolhemos o sinal positivo para a raiz). Substituindo em y':
y'(0) = 2cdot0cdotraiz52raiz5-0 =0

Resposta

y'(0)=0

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