Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
Utilize o Teorema de Green para calcular a integralC F cdot d r (verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
F(x, y)=(6 y+x, y+2 x), C é a circunferência (x-2)^2+(y-3)^2=4 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
ointCvec Fcdot dvec r
onde vec F(x,y)=(6y+x,;y+2x) e C é a circunferência (x-2)^2+(y-3)^2=4 orientada no sentido anti-horário. O conteúdo necessário é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre o interior D de C.

Passo 2

Escrevemos vec F=(P,Q) com
P(x,y)=6y+x, Q(x,y)=y+2x
e aplicamos o Teorema de Green:
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(y+2x) =2, partial Ppartial y =partialpartial y(6y+x) =6,
logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2-6=-4

Passo 4

O domínio D é o disco de raio 2, então Area(D)=picdot2^2=4pi. Assim
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaD(-4),dA =-4cdotArea(D) =-4cdot4pi =-16pi

Resposta

-16pi

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