Nos problemas 1-8, ache uma solução geral para a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
17. 12 y^prime prime+2 y=tg 2 t-12 e^t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não‐homogênea de segunda ordem
12 y'' + 2 y = tan(2t) - 12 e^t
e pede a solução geral usando variação de parâmetros. Aqui o conteúdo é ODE linear de 2.º ordem com coeficientes constantes e método de variação de parâmetros.

Passo 2

Multiplicando por 2 colocamos em forma padrão
y''+4,y=2tan(2t)-e^t
A equação homogênea é
y''+4y=0,
cuja equação característica r^2+4=0 tem raízes r=pm2i. Logo
yh=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 3

Tomamos y1=cos(2t) e y2=sin(2t). O Wronskiano é
W= cos(2t) & sin(2t) -2sin(2t) & 2cos(2t) =2cos^2(2t)+2sin^2(2t)=2

Passo 4

No método de variação de parâmetros, escrevemos a solução particular como
yp=u1(t)cos(2t)+u2(t)sin(2t),
com
u1'=-y2,g(t)W, u2'=y1,g(t)W,
onde g(t)=2tan(2t)-e^t. Assim
u1'=-sin(2t)l(2tan(2t)-e^tr)2, u2'=cos(2t)l(2tan(2t)-e^tr)2

Passo 5

Integramos cada um:
1. Calcule u1=integral u1',dt. Escrevendo
-sin(2t)l(2tan(2t)-e^tr)2 =-sin^2(2t)cos(2t)+e^tsin(2t)2,
temos
integral-sin^2(2t)cos(2t)dt =-integrall(sec(2t)-cos(2t)r)dt =-tfrac12lnlvertsec(2t)+tan(2t)rvert+tfrac12sin(2t),
e
integrale^tsin(2t)2dt =12cdote^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)5 =e^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)10
Logo
u1=-tfrac12lnlvertsec(2t)+tan(2t)rvert+tfrac12sin(2t) +e^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)10
2. Calcule u2=integral u2',dt. Escrevendo
cos(2t)l(2tan(2t)-e^tr)2 =sin(2t)-e^tcos(2t)2,
temos
integralsin(2t)dt=-tfrac12cos(2t), integral-e^tcos(2t)2dt =-12cdote^tl(cos(2t)+2sin(2t)r)5 =-e^tl(cos(2t)+2sin(2t)r)10
Logo
u2=-tfrac12cos(2t) -e^tl(cos(2t)+2sin(2t)r)10

Passo 6

A solução particular é
yp =u1cos(2t)+u2sin(2t),
e a solução geral fica
y(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t) +u1(t)cos(2t)+u2(t)sin(2t)

Resposta

y(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t) -tfrac12lnlvertsec(2t)+tan(2t)rvertcos(2t) +tfrac12sin(2t)cos(2t) +e^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)10cos(2t) -tfrac12cos(2t)sin(2t) -e^tl(cos(2t)+2sin(2t)r)10sin(2t),
que pode ser reorganizada em função de C1,C2 e dos termos encontrados para u1,u2.

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