Nos problemas 1-8, ache uma solução geral para a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
13. v^prime prime+4 v=sec ^4(2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
v''+4,v=sec^4(2t)
usando variação de parâmetros. Isso é um EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois usar variação de parâmetros para um particular.

Passo 2

A homogênea é
v''+4v=0,
cuja equação característica é r^2+4=0, com raízes r=pm2i. Logo a solução geral da parte homogênea é
vh(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 3

Para variação de parâmetros escrevemos
vp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t),
onde y1=cos(2t) e y2=sin(2t). As fórmulas são
u1'=-y2,gW, u2'=y1,gW,
com g(t)=sec^4(2t) e W=y1y2'-y1'y2.

Passo 4

Calculamos W:
y1=cos(2t), y1'=-2sin(2t), y2=sin(2t), y2'=2cos(2t),
então
W=cos(2t)cdot2cos(2t)-(-2sin(2t))sin(2t) =2cos^2(2t)+2sin^2(2t)=2

Passo 5

Agora
u1'=-sin(2t),sec^4(2t)2 =-tfrac12sin(2t)cos^4(2t)
Fazendo w=cos(2t)Rightarrow dw=-2sin(2t),dt, obtemos
u1=integral u1',dt =-tfrac12integralsin(2t)cos^4(2t),dt =-tfrac12integral w^-4,l(-tfrac12,dwr) =tfrac14integral w^-4dw =-tfrac112w^-3 =-tfrac112sec^3(2t)

Passo 6

Em seguida
u2'=cos(2t),sec^4(2t)2 =tfrac12sec^3(2t)
Usamos a primitiva padrão de sec^3:
integralsec^3(u),du =tfrac12l(sec utan u+ln|sec u+tan u|r)
Como aqui u=2t e du=2,dt, temos
u2 =integral u2',dt =tfrac12integralsec^3(2t),dt =tfrac12cdottfrac14l(sec(2t)tan(2t) +lnl|sec(2t)+tan(2t)r|r) =tfrac18l(sec(2t)tan(2t)+lnlvertsec(2t)+tan(2t)rvertr)

Passo 7

O particular é
vp=u1,y1+u2,y2 =-tfrac112sec^3(2t)cos(2t) +tfrac18l(sec(2t)tan(2t)+ln|sec(2t)+tan(2t)|r)sin(2t)
Observando que cos(2t)sec^3(2t)=sec^2(2t) e sin(2t)sec(2t)tan(2t)=tan^2(2t), podemos reescrever se desejar.
A solução geral é
v(t)=vh(t)+vp(t)

Resposta

v(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t) -tfrac112sec^2(2t) +tfrac18l(tan^2(2t)+sin(2t)lnlvertsec(2t)+tan(2t)rvertr)

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