Desafios

  1. O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição P0=(1,1,1), e a temperatura da blindagem de sua espçonave num ponto (x, y, z) é dada por:
T(x, y, z)=e^-x^2-2 y^2-3 z^2 graus
(a) Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?
(b) Se a espaço nave viaja a e^8 unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item (a)?
(c) Infelizmente, a blindagem da espaço nave se danificará se a taxa de variação da temperatura for inferior a raiz14 e^2 graus/s. Que conjunto de possíveis direções ele pode tomar sem causar danos à sua espaço nave, a partir de P0, com a velocidade do item (b)?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura da blindagem em (x,y,z) por
T(x,y,z)=e^-x^2-2y^2-3z^2
e o ponto atual P0=(1,1,1). Precisamos usar gradiente e derivada direcional para:
  1. encontrar a direção de maior queda de T,
  2. calcular a taxa de variação de T ao mover-se nessa direção com velocidade e^8,
  3. determinar todas as direções unitárias em que a taxa de queda não excede raiz14,e^2 em magnitude.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T e avaliamos em P0.
As derivadas parciais são
partial Tpartial x=-2x,e^-x^2-2y^2-3z^2, partial Tpartial y=-4y,e^-x^2-2y^2-3z^2, partial Tpartial z=-6z,e^-x^2-2y^2-3z^2
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nablaT(x,y,z)=l(-2x,,-4y,,-6zr),e^-x^2-2y^2-3z^2
Em P0=(1,1,1) temos e^-1-2-3=e^-6, então
nablaT(P0)=l(-2,-4,-6r),e^-6

Passo 3

A direção de maior queda é o vetor unitário -nabla T(P0)/|nabla T(P0)|. Primeiro
|nabla T(P0)| =raiz(-2e^-6)^2+(-4e^-6)^2+(-6e^-6)^2 =raiz56,e^-6 =2raiz14,e^-6
Portanto
uqueda =-nabla T(P0)|nabla T(P0)| =(2,4,6)e^-62raiz14,e^-6 =(1,2,3)raiz14

Passo 4

A derivada direcional ao longo de uqueda em P0 é
DuT(P0)=nabla T(P0)cdot uqueda =-|nabla T(P0)| =-2raiz14,e^-6cdot e^6 =-2raiz14,
Com velocidade v=e^8, a taxa temporal é
dTdt = v,DuT(P0) = e^8timesl(-2raiz14r)e^-6 =-2raiz14,e^2

Passo 5

Para direção unitária genérica u=(u1,u2,u3), a taxa é
dTdt =e^8l(nabla T(P0)cdot ur) =e^2l(-2u1-4u2-6u3r)
Queremos tfracdTdt>= -raiz14,e^2, isto é
-2u1-4u2-6u3>= -raiz14 Long<=ftrightarrow 2u1+4u2+6u3<= raiz14
Como |(2,4,6)|=2raiz14, isso equivale a
(1,2,3)raiz14cdot u;<=;tfrac12
Ou seja, as direções seguras são
luin R^3:|u|=1,;(1,2,3)raiz14!cdot u<=tfrac12r

Resposta

(a) uqueda=(1,2,3)raiz14
(b) dTdt=-2raiz14,e^2 graus/s
(c) ,uin R^3:|u|=1,;((1,2,3)/raiz14)cdot u<= 1/2

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