Desafios
- O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição
, e a temperatura da blindagem de sua espçonave num ponto
é dada por:
(a) Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?
(b) Se a espaço nave viaja a
unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item (a)?
(c) Infelizmente, a blindagem da espaço nave se danificará se a taxa de variação da temperatura for inferior a
graus/s. Que conjunto de possíveis direções ele pode tomar sem causar danos à sua espaço nave, a partir de
, com a velocidade do item (b)?
(b) Se a espaço nave viaja a
(c) Infelizmente, a blindagem da espaço nave se danificará se a taxa de variação da temperatura for inferior a
Passo 1
O enunciado dá a temperatura da blindagem em
por
e o ponto atual
. Precisamos usar gradiente e derivada direcional para:
- encontrar a direção de maior queda de
, - calcular a taxa de variação de
ao mover-se nessa direção com velocidade , - determinar todas as direções unitárias em que a taxa de queda não excede
em magnitude.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
e avaliamos em
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
Logo
Em
temos
, então
Passo 3
A direção de maior queda é o vetor unitário
. Primeiro
Portanto
Passo 4
A derivada direcional ao longo de
em
é
Com velocidade
, a taxa temporal é
Passo 5
Para direção unitária genérica
, a taxa é
Queremos
, isto é
Como
, isso equivale a
Ou seja, as direções seguras são
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)