1. Sejam z=3 x y-4 y^2, x=2 s e^r, y=r e^-s.
Determine partial^2 fpartial r^2 e partial^2 fpartial s partial r de duas maneiras:
(a) Expressando z em termos de r e s;
(b) Usando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado dá a função
z = 3xy ;-;4y^2,
com as substituições
x = 2s e^r, y = r e^-s
Queremos calcular as derivadas de segunda ordem
partial^2 zpartial r^2
e
partial^2 zpartial s,partial r
de duas maneiras:
(a) substituindo diretamente x(r,s) e y(r,s) em z e diferenciando,
(b) aplicando a regra da cadeia em coordenadas.

Passo 2

Método (a): expressar z em termos de r,s.
Primeiro note que
x,y = l(2s e^rr)l(r e^-sr) = 2r,s,e^,r - s,
y^2 = r^2 e^-2s
Logo
z(r,s) = 3,(2r s e^r-s) ;-;4,(r^2 e^-2s) = 6,r s,e^r-s;-;4,r^2 e^-2s

Passo 3

Ainda pelo método (a), calculamos primeiro
partial zpartial r e depois
partial^2 zpartial r^2.
De
z(r,s)=6,r s,e^r-s-4,r^2 e^-2s
temos
partial zpartial r =6,s,partialpartial rl(r e^r-sr) ;-;4,partialpartial r(r^2 e^-2s) =6,s,e^r-s(1+r);-;8,r,e^-2s
Diferenciando novamente em r,
partial^2 zpartial r^2 =6,s,partialpartial rl(e^r-s(1+r)r) ;-;8,partialpartial rl(r e^-2sr) =6,s,e^r-s(r+2);-;8,e^-2s

Passo 4

Ainda pelo método (a), obtemos a derivada mista
partial^2 zpartial s,partial r
diferenciando partial z/partial r em relação a s:
partial zpartial r =6,s,e^r-s(1+r);-;8,r,e^-2s ;Longrightarrow; partial^2 zpartial s,partial r =6,(1+r),e^r-s(1-s);+;16,r,e^-2s

Passo 5

Método (b): regra da cadeia.
Precisamos de
zx = partialpartial x(3xy-4y^2)=3y, zy = partialpartial y(3xy-4y^2)=3x-8y,
e das derivadas de x e y:
xr = 2s e^r, xs = 2e^r, yr = e^-s, ys = -r e^-s

Passo 6

Aplicando a cadeia:
partial zpartial r = zx,xr + zy,yr =3y,(2s e^r) + (3x-8y),e^-s,
que, ao reescrever em função de r,s, coincide com
6s e^r-s(1+r)-8r e^-2s.
Em seguida, para partial^2 z/partial r^2 derivamos essa expressão em r, obtendo
partial^2 zpartial r^2 =6,s,e^r-s(r+2)-8,e^-2s,
e para a derivada mista fazemos
partialpartial sl(partial z/partial rr)
pela cadeia, chegando a
partial^2 zpartial s,partial r =6(1+r)(1-s)e^r-s+16,r,e^-2s
Note que coincidem com os resultados do método (a).

Resposta

boxed partial^2 zpartial r^2 =6,s,e^r-s(r+2);-;8,e^-2s, partial^2 zpartial s,partial r =6,(1+r)(1-s),e^r-s;+;16,r,e^-2s

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