- Sejam
.
Determine
e
de duas maneiras:
(a) Expressando
em termos de
e
;
(b) Usando a regra da cadeia.
(a) Expressando
(b) Usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá a função
com as substituições
Queremos calcular as derivadas de segunda ordem
e
de duas maneiras:
(a) substituindo diretamente e
em
e diferenciando,
(b) aplicando a regra da cadeia em coordenadas.
e
de duas maneiras:
(a) substituindo diretamente
(b) aplicando a regra da cadeia em coordenadas.
Passo 2
Método (a): expressar
em termos de
.
Primeiro note que
Primeiro note que
Logo
Passo 3
Ainda pelo método (a), calculamos primeiro
e depois
.
De
De
temos
Diferenciando novamente em
,
Passo 4
Ainda pelo método (a), obtemos a derivada mista
diferenciando em relação a
:
diferenciando
Passo 5
Método (b): regra da cadeia.
Precisamos de
Precisamos de
e das derivadas de
e
:
Passo 6
Aplicando a cadeia:
que, ao reescrever em função de
, coincide com
.
Em seguida, para derivamos essa expressão em
, obtendo
Em seguida, para
e para a derivada mista fazemos
pela cadeia, chegando a
pela cadeia, chegando a
Note que coincidem com os resultados do método (a).