O módulo J(r) da densidade de corrente em um fio cilíndrico com 3.6 m de comprimento 2,5 mm de raio é dado por J(r)=B r^3, onde r é a distância do centro do fio em metros e B=1,5 times 10^8 A / m^5. Calcule:
(a) [1,0 pt] a corrente que passa pelo fio;
(b) [1,0 pt] a resistência do fio;
(c) [0,5 pt] a energia que ele dissipa durante uma hora.
[Dado: resistividade do fio nas condições citadas epsilon rho=1,7 times 10^-8 Omega m.]

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico de comprimento L=3,6 m e raio a=2,5times10^-3 m, com densidade de corrente radialmente variável segundo
J(r)=B,r^3, B=1,5times10^8 A/m^5
Pede-se (a) a corrente total I, (b) a resistência R do fio usando a resistividade rho=1,7times10^-8 Omegacdotm, e (c) a energia dissipada em uma hora.

Passo 2

Para achar a corrente total usamos
I=integralAJ(r),dA
em coordenadas polares no corte transversal. Como dA=r,dr,dtheta,
I =integral0^2pi!integral0^aB,r^3,(r,dr,dtheta) =2pi Bintegral0^ar^4,dr =2pi B,a^55
Substituindo B=1,5times10^8 e a=2,5times10^-3,
a^5=(2,5times10^-3)^5=9,765625times10^-14,
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I =2pi,(1,5times10^8),(9,765625times10^-14)5 approx1,84times10^-5 A

Passo 3

A resistência do fio, dada resistividade uniforme, é
R=rho,LA =rho,Lpi a^2
Com rho=1,7times10^-8 Omegacdotm, L=3,6 m e a^2=(2,5times10^-3)^2=6,25times10^-6 m^2,
A=pi,6,25times10^-6approx1,9635times10^-5 m^2,
então
R =1,7times10^-8times3,61,9635times10^-5 approx3,12times10^-3 Omega

Passo 4

A energia dissipada em tempo t=1 h=3600 s vem de
E=I^2R,t
Substituindo Iapprox1,84times10^-5 A e Rapprox3,12times10^-3 Omega,
E =(1,84times10^-5)^2times3,12times10^-3times3600 approx3,8times10^-9 J

Resposta

(a) Iapprox1,84times10^-5 A
(b) Rapprox3,12times10^-3 Omega
(c) Eapprox3,8times10^-9 J

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