4. Desafios e Problemas Práticos

Questão 1.

Suponha que estejamos interessados em avaliar sob quais condições a Mega Sena (uma das loterias da Caixa Econômica Federal) poderia ser vista como um investimento certo, isto é, um investimento que vai render mais do que o montante investido com probabilidade 1 (ou 100%).
Para fazer isso, primeiramente temos que descobrir qual a probabilidade de ganhar na Mega Sena. Sabendo essa probabilidade, podemos calcular o ganho esperado de um jogo e, se o ganho esperado for maior do que o valor do bilhete, então o investimento é um investimento certo! (aqui estamos implicitamente assumimos ainda que dispomos de dinheiro o suficiente para comprarmos quantos bilhetes forem necessários…)
a. Na Mega Sena, 6 números são selecionados aleatoriamente dentre um total de 60 (isto é, de 1 a 60), sem reposição. Esboce o espaço amostral Omega correspondente a esse problema.
b. Baseado na sua resposta ao item a, calcule a probabilidade de um bilhete específico (isto é, uma sequência de 6 números escolhidos aleatoriamente) ser premiado. (Dica: notando que a ordem dos números de uma sequência não importa, calcule #(Omega) e use o fato de que cada sequência é apenas 1 elemento em Omega ).
c. Denote a probabilidade calculada no item b por p, o montante total pago na Mega Sena (também chamado de “pote”) por M e o valor do bilhete por b. O rendimento esperado (bruto) de um jogo é então dado por p cdot M, e o rendimento líquido pode ser definido por E:=p cdot M-b.
Se em Novembro de 2024 o bilhete da Mega Sena custa R$5,00, quanto deve ser o valor mínimo do prêmio pago pela Mega Sena para que o rendimento esperado seja positivo, isto é, qual deve ser o valor mínimo de 5,00, quanto deve ser o valor mínimo do prêmio pago pela Mega Sena para que o rendimento esperado seja positivo, isto é, qual deve ser o valor mínimo de para que para que ?
d. Agora, embora tenhamos definido ? d Agora, embora tenhamos definido como rendimento “líquido” no item anterior, na verdade como rendimento "líquido" no item anterior, na verdade do rendimento total é retido pela Caixa automaticamente como Imposto de Renda na ocasião da entrega do prêmio. Como essa informação afeta sua resposta ao item c?
e. Apesar de uma premiação na Mega Sena ser um evento raro, é possível que mais de uma pessoa divida o mesmo prêmio. Como essa informação afeta sua resposta ao item d?

Passo 1

O enunciado trata da Mega Sena, em que escolhemos 6 números dentre os 60 disponíveis sem reposição, e nos interessa calcular a probabilidade de um bilhete ser premiado e, a partir daí, o rendimento esperado de um bilhete. O conteúdo necessário é combinação (para contar o espaço amostral) e valor esperado em probabilidade.

Passo 2

O espaço amostral Omega é o conjunto de todas as combinações de 6 números dentre 60. Logo,
Omega = lAsubset1,2,dots,60mid |A|=6r
e
#(Omega)=binom606 =60times59times58times57times56times556! =50,063,860

Passo 3

Como cada combinação tem chance igual de sair, a probabilidade p de um bilhete específico ser premiado é
p=1binom606

Passo 4

Sem considerar imposto, o rendimento líquido é
E = pcdot M - b
Para E>0 basta
pcdot M > b Longrightarrow M > bp =5binom606 =5times50,063,860 =250,319,300

Passo 5

Com retenção de 25% de IR, o prêmio líquido é 0,75M, então
E = pcdot(0,75M) - b>0 Longrightarrow M > b0,75,p =5binom6060,75 approx333,759,067

Passo 6

Se o prêmio for dividido igualmente por k ganhadores, cada um recebe tfrac0,75Mk líquido e
E = pcdot0,75Mk-b>0 Longrightarrow M > b,k0,75,p =5,k,binom6060,75

Resposta

(a) Omega=Asubset1,dots,60mid|A|=6, #(Omega)=binom606.
(b) p=1/binom606.
(c) M>5binom606approx250,319,300.
(d) Com 25% de IR, M>dfrac5binom6060,75approx333,759,067.
(e) Com k ganhadores, M>dfrac5,k,binom6060,75.

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