Questão 1.
Ilustre e exemplifique a propriedade da probabilidade da união de dois eventos A e B em Omega, isto é, P(A cup B)=P(A)+P(B)-P(A cap B).

Passo 1

Estamos estudando a propriedade fundamental de probabilidade que diz como calcular a probabilidade da união de dois eventos A e B num espaço amostral Omega. Para resolver, vamos usar as definições de probabilidade de eventos, a ideia de contagem de regiões sobrepostas (interseção) e ilustrar com um diagrama de Venn.

Passo 2

Imagine o retângulo como Omega e dois círculos sobrepostos dentro dele, um representando A e outro representando B. A área de cada círculo é P(A) e P(B). Se somarmos P(A)+P(B), a região de interseção Acap B fica contada duas vezes. Para corrigir isso, subtraímos uma vez a probabilidade dessa interseção, chegando à fórmula
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)

Passo 3

Exemplo com um dado justo. Defina
Omega=1,2,3,4,5,6,
A=número par=2,4,6ú,
B=número>=4=4,5,6ú.
Como todas as faces têm probabilidade 1/6,
P(A)=36=tfrac12, P(B)=36=tfrac12
A interseção é Acap B=4,6, logo
P(Acap B)=26=tfrac13
Pela fórmula da união,
P(Acup B) =tfrac12+tfrac12-tfrac13 =1-tfrac13 =tfrac23
Verificando diretamente,
Acup B=2,4,5,6 tem 4 elementos, logo P(Acup B)=4/6=tfrac23, confirmando a propriedade.

Resposta

A propriedade é ilustrada no diagrama de Venn como a soma das áreas de A e B menos a área da interseção, e no exemplo do dado temos
P(Acup B) =tfrac12+tfrac12-tfrac13 =tfrac23

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