Questão 3.

Considere o julgamento de um indivíduo acusado de um certo tipo de crime, onde temos um testemunho que visa provar que o acusado é culpado. Defina C=[ o acusado é culpado ] e T=[ o testemunho é verdadeiro ]. A decisão correta acontece quando se estabelece que acusado é culpado dado que o testemunho é verdadeiro, isto é quando ( C mid T ) ocorre. Porém, em alguns julgamentos, decisões foram tomadas erroneamente baseadas em argumentos sobre (T mid C), isto é, sobre a possibilidade de que o testemunho seja verdadeiro dado que o indivíduo é culpado. Esse problema é conhecido como a falácia do promotor, e já levou a condenações erradas em pelo menos 2 casos famosos: o caso Dreyfus (de 1984) e o caso de Sally Clark (de 1998).
a. Mostre que a falácia do promotor não ocorre, isto é, que P(C mid T)= P(T mid C) se, e somente se, a probabilidade de que o indivíduo é culpado seja a mesma do testemunho ser verdadeiro, ou seja, se P(C)=P(T) (Dica: utilize diretamente a definição de probabilidade condicional para ambos os eventos (C mid T) e (T mid C) ).
b. Mostre que, se a probabilidade P(C) do acusado ser culpado for relativamente baixa em comparação com a probabilidade P(T) de que o teste-
munho seja verdadeiro, a falácia do promotor pode levar à uma condenação quase certa (Dica: tome por exemplo P(C)=P(T) / 100 e mostre que P(T mid C) =100 cdot P(C mid T) ).

Passo 1

O enunciado trata da comparação entre P(Cmid T) e P(Tmid C), usando a definição de probabilidade condicional. Vamos aplicar diretamente
P(Amid B)=P(Acap B)P(B)

Passo 2

Escrevendo cada condicional por Bayes, obtemos
P(Cmid T) =P(Tmid C),P(C)P(T)
e
P(Tmid C) =P(Cmid T),P(T)P(C)

Passo 3

Suponha P(Cmid T)=P(Tmid C). Então
P(Tmid C),P(C)P(T) =P(Tmid C)
Como P(Tmid C)>0, podemos cancelar P(Tmid C) e obter
P(C)P(T)=1 Longrightarrow P(C)=P(T)

Passo 4

Agora, se P(C)=P(T), então da expressão de P(Cmid T) em Passo 2 segue
P(Cmid T) =P(Tmid C),P(C)P(T) =P(Tmid C),P(T)P(T) =P(Tmid C),
mostrando a outra mão da equivalência.

Passo 5

Para a parte (b), assuma
P(C)=tfracP(T)100. Substituindo em
P(Tmid C)=P(Cmid T),P(T)P(C),
temos
P(Tmid C) =P(Cmid T),P(T) P(T)/100 =100;P(Cmid T)
Isto mostra que, mesmo que P(Cmid T) seja modesta, P(Tmid C) fica multiplicada por 100, aproximando-se de 1 e gerando uma condenação quase certa.

Resposta

(a) P(Cmid T)=P(Tmid C) se, e somente se, P(C)=P(T).
(b) Se P(C)=P(T)/100, então P(Tmid C)=100cdotP(Cmid T), o que pode levar à quase certeza de condenação.

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