Questão 3.
Considere o julgamento de um indivíduo acusado de um certo tipo de crime, onde temos um testemunho que visa provar que o acusado é culpado. Defina
o acusado é culpado
e
o testemunho é verdadeiro
. A decisão correta acontece quando se estabelece que acusado é culpado dado que o testemunho é verdadeiro, isto é quando (
) ocorre. Porém, em alguns julgamentos, decisões foram tomadas erroneamente baseadas em argumentos sobre
, isto é, sobre a possibilidade de que o testemunho seja verdadeiro dado que o indivíduo é culpado. Esse problema é conhecido como a falácia do promotor, e já levou a condenações erradas em pelo menos 2 casos famosos: o caso Dreyfus (de 1984) e o caso de Sally Clark (de 1998).
a. Mostre que a falácia do promotor não ocorre, isto é, que
se, e somente se, a probabilidade de que o indivíduo é culpado seja a mesma do testemunho ser verdadeiro, ou seja, se
(Dica: utilize diretamente a definição de probabilidade condicional para ambos os eventos
e
).
b. Mostre que, se a probabilidade
do acusado ser culpado for relativamente baixa em comparação com a probabilidade
de que o teste-
munho seja verdadeiro, a falácia do promotor pode levar à uma condenação quase certa (Dica: tome por exemplo
e mostre que
).
a. Mostre que a falácia do promotor não ocorre, isto é, que
b. Mostre que, se a probabilidade
munho seja verdadeiro, a falácia do promotor pode levar à uma condenação quase certa (Dica: tome por exemplo
Passo 1
O enunciado trata da comparação entre
e
, usando a definição de probabilidade condicional. Vamos aplicar diretamente
Passo 2
Escrevendo cada condicional por Bayes, obtemos
e
Passo 3
Suponha
. Então
Como
, podemos cancelar
e obter
Passo 4
Agora, se
, então da expressão de
em Passo 2 segue
mostrando a outra mão da equivalência.
Passo 5
Para a parte (b), assuma
. Substituindo em
,
temos
temos
Isto mostra que, mesmo que
seja modesta,
fica multiplicada por 100, aproximando-se de 1 e gerando uma condenação quase certa.
Resposta
(a)
se, e somente se,
.
(b) Se , então
, o que pode levar à quase certeza de condenação.
(b) Se