Questão 1.
Enuncie e ilustre o Teorema de Bayes.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar (dizer em palavras e em fórmula) o Teorema de Bayes e depois ilustrá-lo com um exemplo. O conteúdo envolve probabilidade condicional e a lei da probabilidade total. Para resolver, vamos precisar da definição de probabilidade condicional e da lei da probabilidade total.

Passo 2

Definimos a probabilidade condicional de um evento A dado B por
Pr(Amid B) = Pr(Acap B)Pr(B), se Pr(B)>0
Se Bii=1^n for uma partição do espaço amostral (ou seja, eventos disjuntos cuja união é todo o espaço) e Pr(Bi)>0 para todo i, a lei da probabilidade total diz
Pr(A) = sumi=1^n Pr(Amid Bi),Pr(Bi)

Passo 3

Para chegar ao Teorema de Bayes, escolhemos um dos Bj dessa partição e usamos a definição de probabilidade condicional duas vezes. Primeiro,
Pr(Bjcap A) = Pr(Acap Bj) = Pr(Amid Bj),Pr(Bj)
Por outro lado,
Pr(Bjcap A) = Pr(Bjmid A),Pr(A)
Igualando as duas expressões e isolando Pr(Bjmid A), obtemos
Pr(Bjmid A) = Pr(Amid Bj),Pr(Bj)Pr(A)
Como Pr(A) pode ser escrito pela lei da probabilidade total, chega-se à forma clássica:
boxed Pr(Bjmid A) = Pr(Amid Bj),Pr(Bj) sumi=1^n Pr(Amid Bi),Pr(Bi)

Passo 4

Vamos ilustrar com um exemplo de duas caixas e bolas.
bul<=t Caixa 1 ( B1): 2 bolas brancas e 1 bola preta.
bul<=t Caixa 2 ( B2): 1 bola branca e 2 bolas pretas.
Escolhe-se uma caixa ao acaso (cada uma com probabilidade tfrac12) e, em seguida, retira-se uma bola ao acaso. Seja W o evento “tirar bola branca”.
Pelas condições do exemplo:
Pr(B1)=Pr(B2)=tfrac12, Pr(Wmid B1)=23, Pr(Wmid B2)=13
Pela lei da probabilidade total,
Pr(W) = Pr(Wmid B1)Pr(B1) + Pr(Wmid B2)Pr(B2) = 23cdot12 + 13cdot12 = 12
Aplicando o Teorema de Bayes para encontrar Pr(B1mid W):
Pr(B1mid W) = Pr(Wmid B1),Pr(B1)Pr(W) = tfrac23cdottfrac12tfrac12 = 23

Resposta

O Teorema de Bayes afirma que, dada uma partição Bi do espaço amostral com Pr(Bi)>0, para qualquer evento A com Pr(A)>0 vale:
Pr(Bjmid A) = Pr(Amid Bj),Pr(Bj) sumi Pr(Amid Bi),Pr(Bi)
No exemplo das duas caixas, a probabilidade de termos escolhido a Caixa 1 ao retirar uma bola branca é Pr(B1mid W)=tfrac23.

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