Questão 1.
Enuncie e ilustre o Teorema de Bayes.
Enuncie e ilustre o Teorema de Bayes.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar (dizer em palavras e em fórmula) o Teorema de Bayes e depois ilustrá-lo com um exemplo. O conteúdo envolve probabilidade condicional e a lei da probabilidade total. Para resolver, vamos precisar da definição de probabilidade condicional e da lei da probabilidade total.
Passo 2
Definimos a probabilidade condicional de um evento
dado
por
Se
for uma partição do espaço amostral (ou seja, eventos disjuntos cuja união é todo o espaço) e
para todo
, a lei da probabilidade total diz
Passo 3
Para chegar ao Teorema de Bayes, escolhemos um dos
dessa partição e usamos a definição de probabilidade condicional duas vezes. Primeiro,
Por outro lado,
Igualando as duas expressões e isolando
, obtemos
Como
pode ser escrito pela lei da probabilidade total, chega-se à forma clássica:
Passo 4
Vamos ilustrar com um exemplo de duas caixas e bolas.
Caixa
(
):
bolas brancas e
bola preta.
Caixa
(
):
bola branca e
bolas pretas.
Escolhe-se uma caixa ao acaso (cada uma com probabilidade ) e, em seguida, retira-se uma bola ao acaso. Seja
o evento “tirar bola branca”.
Escolhe-se uma caixa ao acaso (cada uma com probabilidade
Pelas condições do exemplo:
Pela lei da probabilidade total,
Aplicando o Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
O Teorema de Bayes afirma que, dada uma partição
do espaço amostral com
, para qualquer evento
com
vale:
No exemplo das duas caixas, a probabilidade de termos escolhido a Caixa
ao retirar uma bola branca é
.