Para descrever o movimento, precisamos de uma linguagem que conecte uma função com suas próprias taxas de variação. Precisamos forjar uma Equação Diferencial.
Traduzindo para a Linguagem do Cálculo: A chave para uma equação diferencial é escrever todas as variáveis cinemáticas ( v, a ) em termos de uma única função, x(t), e suas derivadas.
  • Como se escreve v em termos de x(t) ?
  • Como se escreve a em termos de x(t) ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas muito diretas: escrever a velocidade e a aceleração em termos de uma única função posição x(t). Informações dadas: a função posição é \,x(t)\, e a variável independente é o tempo \,t. As perguntas são:
  • Como se escreve a velocidade v em termos de \,x(t)\,?
  • Como se escreve a aceleração a em termos de \,x(t)\,?

Passo 2

Definição intuitiva e formal da velocidade: velocidade é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo — ou seja, quanto a posição muda por unidade de tempo num instante. Formalmente, a velocidade instantânea em t é o limite da razão de diferença:
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.
Esse limite existe quando x(t) é diferenciável naquele ponto. Em linguagem do cálculo, isso é exatamente a derivada de x em relação a t.

Passo 3

Notações equivalentes para velocidade: a derivada pode ser escrita de formas diferentes, todas iguais em significado. Portanto:
v(t)=\frac{dx}{dt}=\dot{x}(t).
Explicação das notações:
  • \frac{dx}{dt} lê-se “derivada de x em relação a t” e é a notação mais explícita;
  • \dot{x}(t) é a notação pontuada (útil em física), que significa “derivada primeira de x em relação a t”.

Passo 4

Definição intuitiva e formal da aceleração: aceleração é a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo — ou seja, quanto a velocidade muda por unidade de tempo num instante. Como v(t) já é a derivada de x(t), a aceleração é a derivada de v(t). Formalmente:
a(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}.
Como v(t)=\frac{dx}{dt}, isso implica que a aceleração é a segunda derivada de x em relação ao tempo:
a(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.

Passo 5

Notações equivalentes para aceleração: usando a notação pontuada e a notação de derivada segunda,
a(t)=\ddot{x}(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Significado físico e unidades: se \,x está em metros e \,t em segundos, então v tem unidade \mathrm{m/s} e a tem unidade \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Como calcular na prática (receita passo a passo que funciona na prova):
  1. Pegue a expressão de \,x(t)\,.
  2. Calcule \frac{dx}{dt} aplicando regras usuais de derivação (regra do poder, soma, constante, produto, cadeia, etc.). O resultado é \,v(t)\,.
  3. Calcule \frac{d}{dt}\bigl(v(t)\bigr) — isto é, derive v(t) — para obter \,a(t)\,. Alternativamente, derive x(t) duas vezes e escreva \frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Exemplos concretos (mostrando as contas passo a passo):
  • Se \,x(t)=t^{2}, aplique a regra do poder (derivada de t^{n} é n t^{n-1}): v(t)=\frac{dx}{dt}=2t,\qquad a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}(2t)=2.
  • Se \,x(t)=5t+3: v(t)=\frac{dx}{dt}=5,\qquad a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}(5)=0.
  • Se \,x(t)=3t^{3}-2t: v(t)=\frac{dx}{dt}=9t^{2}-2,\qquad a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}(9t^{2}-2)=18t.
Esses exemplos mostram que basta aplicar a regra do poder passo a passo.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (pra te deixar mais confiante):
  • Sempre escreva primeiro \frac{dx}{dt} e depois derive de novo para \frac{d^{2}x}{dt^{2}}. Isso evita erros de sinais e coeficientes.
  • Se receber v(t) e pedirem a(t), derive v(t). Se pedirem x(t) a partir de v(t), integre (mas atenção a constantes de integração).
  • Use a notação que for mais rápida para você ( \dot{x} é curta; \frac{dx}{dt} é explícita). Em prova, prefira clareza.

Resposta

v(t)=\dot{x}(t)=\dfrac{dx}{dt}
a(t)=\ddot{x}(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}

Exercícios relacionados