Para descrever o movimento, precisamos de uma linguagem que conecte uma função com suas próprias taxas de variação. Precisamos forjar uma Equação Diferencial.
Traduzindo para a Linguagem do Cálculo: A chave para uma equação diferencial é escrever todas as variáveis cinemáticas (
) em termos de uma única função,
, e suas derivadas.
- Como se escreve
em termos de
?
- Como se escreve
em termos de
?
Traduzindo para a Linguagem do Cálculo: A chave para uma equação diferencial é escrever todas as variáveis cinemáticas (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas muito diretas: escrever a velocidade e a aceleração em termos de uma única função posição
. Informações dadas: a função posição é
e a variável independente é o tempo
. As perguntas são:
- Como se escreve a velocidade
em termos de ? - Como se escreve a aceleração
em termos de ?
Passo 2
Definição intuitiva e formal da velocidade: velocidade é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo — ou seja, quanto a posição muda por unidade de tempo num instante. Formalmente, a velocidade instantânea em
é o limite da razão de diferença:
Esse limite existe quando
é diferenciável naquele ponto. Em linguagem do cálculo, isso é exatamente a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Notações equivalentes para velocidade: a derivada pode ser escrita de formas diferentes, todas iguais em significado. Portanto:
Explicação das notações:
-
lê-se “derivada de em relação a ” e é a notação mais explícita; -
é a notação pontuada (útil em física), que significa “derivada primeira de em relação a ”.
Passo 4
Definição intuitiva e formal da aceleração: aceleração é a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo — ou seja, quanto a velocidade muda por unidade de tempo num instante. Como
já é a derivada de
, a aceleração é a derivada de
. Formalmente:
Como
, isso implica que a aceleração é a segunda derivada de
em relação ao tempo:
Passo 5
Notações equivalentes para aceleração: usando a notação pontuada e a notação de derivada segunda,
Significado físico e unidades: se
está em metros e
em segundos, então
tem unidade
e
tem unidade
.
Passo 6
Como calcular na prática (receita passo a passo que funciona na prova):
- Pegue a expressão de
. - Calcule
aplicando regras usuais de derivação (regra do poder, soma, constante, produto, cadeia, etc.). O resultado é . - Calcule
— isto é, derive — para obter . Alternativamente, derive duas vezes e escreva .
Exemplos concretos (mostrando as contas passo a passo):
- Se
, aplique a regra do poder (derivada de é ): - Se
: - Se
:
Esses exemplos mostram que basta aplicar a regra do poder passo a passo.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (pra te deixar mais confiante):
- Sempre escreva primeiro
e depois derive de novo para . Isso evita erros de sinais e coeficientes. - Se receber
e pedirem , derive . Se pedirem a partir de , integre (mas atenção a constantes de integração). - Use a notação que for mais rápida para você (
é curta; é explícita). Em prova, prefira clareza.