No laboratório de materiais da UACSA estão sendo realizados os testes em novos materiais para serem usados em componentes elétricos. Determine a corrente em um fio do material A e B, ambos com mesmo raio R , cujo módulo da densidade de corrente é dado por
(1, 0) Jb=C cdot (1-rR) A / m^2 onde r é a distânciaradial e C é uma constante real e positiva medida em A / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois materiais, A e B, que têm o mesmo raio $ R $. A gente precisa descobrir a corrente que passa pelo fio desses materiais. O tema aqui é densidade de corrente elétrica, que basicamente mostra como a corrente está distribuída dentro do fio. Para resolver isso, vamos precisar usar integração para calcular a corrente total a partir da densidade de corrente dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente total $ I $ que passa pelo fio pode ser encontrada integrando a densidade de corrente $ J_b $ sobre a área transversal do fio. A fórmula geral é:
I
onde $ dA $ é um elemento de área.

Passo 3

Como o fio é circular com raio $ R $, é mais fácil fazer a integração em coordenadas polares. Nesse caso, um elemento de área $ dA $ é dado por:
R
onde $ r $ varia de 0 a $ R $.

Passo 4

A densidade de corrente dada é:
Jb = C (1 - rR) , A/m^2
Nossa próxima etapa é substituir $ J_b $ e $ dA $ na integral para encontrar $ I $:
Jb

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
I = 2pi C integral0^R (1 - rR) r , dr
Expandindo o termo dentro da integral:
I = 2pi C integral0^R (r - r^2R) dr

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral termo a termo:
integral0^R r , dr = [r^22]0^R = R^22
integral0^R r^2R , dr = 1R [r^33]0^R = R^23
Substituindo de volta na expressão para $ I $:
I

Passo 7

Vamos simplificar dentro dos parênteses:
R^22 - R^23 = 3R^2 - 2R^26 = R^26
Então:
I = 2pi C cdot R^26 = pi C R^23

Resposta

A corrente que passa pelo fio dos materiais A e B é:
I = pi C R^23 , A

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