No laboratório de materiais da UACSA estão sendo realizados os testes em novos materiais para serem usados em componentes elétricos. Determine a corrente em um fio do material A e B, ambos com mesmo raio R , cujo módulo da densidade de corrente é dado por
onde
é a distânciaradial e
é uma constante real e positiva medida em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois materiais, A e B, que têm o mesmo raio $ R $. A gente precisa descobrir a corrente que passa pelo fio desses materiais. O tema aqui é densidade de corrente elétrica, que basicamente mostra como a corrente está distribuída dentro do fio. Para resolver isso, vamos precisar usar integração para calcular a corrente total a partir da densidade de corrente dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente total $ I $ que passa pelo fio pode ser encontrada integrando a densidade de corrente $ J_b $ sobre a área transversal do fio. A fórmula geral é:
onde $ dA $ é um elemento de área.
Passo 3
Como o fio é circular com raio $ R $, é mais fácil fazer a integração em coordenadas polares. Nesse caso, um elemento de área $ dA $ é dado por:
onde $ r $ varia de 0 a $ R $.
Passo 4
A densidade de corrente dada é:
Nossa próxima etapa é substituir $ J_b $ e $ dA $ na integral para encontrar $ I $:
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Expandindo o termo dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral termo a termo:
Substituindo de volta na expressão para $ I $:
Passo 7
Vamos simplificar dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
A corrente que passa pelo fio dos materiais A e B é: