Descobrimos as duas "regras"que a pressão deve obedecer. Agora, vamos construir a função p(r, z).
i. Integre a “Regra Radial” \left(\frac{\partial p}{\partial r}=\rho \omega^{2} r\right) em relação a r. Lembre-se que a "constante"de integração pode ser uma função de z. Vamos chamá-la de f(z). Qual a expressão preliminar para p(r, z) ?
ii. Para encontrar a função misteriosa f(z), derive sua expressão de p(r, z) em relação a z. O resultado deve ser \frac{\partial p}{\partial z}=f^{\prime}(z).
iii. Compare o resultado acima com a sua “Regra Vertical”. O que você conclui sobre f^{\prime}(z) ? Integre para encontrar f(z).
iv. Junte tudo para escrever a equação final e completa para p(r, z).
(c)

Passo 1

O enunciado dá duas “regras” que a pressão p(r,z) deve satisfazer e pede para construir a expressão completa de p(r,z). Informações e perguntas relevantes que temos:
  • Informação 1 (Regra radial): \displaystyle \frac{\partial p}{\partial r}=\rho \,\omega^{2} r.
  • Informação 2 (Regra vertical): \displaystyle \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho\, g.
  • Pergunta (i): Integre a regra radial em relação a r e escreva a expressão preliminar para p(r,z), lembrando que a “constante” de integração pode ser uma função de z (chamada f(z)).
  • Pergunta (ii): Calcule \displaystyle \frac{\partial p}{\partial z} a partir da expressão preliminar; deve sair \displaystyle f'(z).
  • Pergunta (iii): Compare esse \displaystyle f'(z) com a Regra vertical e determine f'(z); então integre para achar f(z).
  • Pergunta (iv): Reúna tudo para escrever a expressão final de p(r,z).

Passo 2

Vamos integrar a equação radial \displaystyle \frac{\partial p}{\partial r}=\rho \,\omega^{2} r em relação a r, tratando z como parâmetro (ou seja, z é fixo enquanto integramos).
  • Raciocínio útil para a prova: quando você integra uma derivada parcial \partial p/\partial r em relação a r, a “constante” de integração pode depender de z, porque derivando essa função em relação a r ela some. Então escrevemos a constante de integração como f(z).
  • Integração direta:
\int \frac{\partial p}{\partial r}\,dr \;=\; \int \rho\,\omega^{2} r \,dr.
  • Calcule a integral à direita: a integral de r é r^{2}/2. Assim,
p(r,z) \;=\; \frac{1}{2}\rho\,\omega^{2} r^{2} + f(z).
Essa é a expressão preliminar pedida no item (i).

Passo 3

Agora derive a expressão preliminar em relação a z para obter \displaystyle \frac{\partial p}{\partial z}.
  • A expressão obtida foi \displaystyle p(r,z)=\frac{1}{2}\rho\,\omega^{2} r^{2}+f(z).
  • Como \displaystyle \frac{1}{2}\rho\,\omega^{2} r^{2} não depende de z, sua derivada parcial em relação a z é zero.
  • Portanto,
\frac{\partial p}{\partial z} \;=\; f'(z).
Isto responde o item (ii).

Passo 4

Compare o resultado \displaystyle \frac{\partial p}{\partial z}=f'(z) com a Regra vertical que o enunciado fornece:
\frac{\partial p}{\partial z} \;=\; -\rho\,g.
  • Conclusão: igualando os dois lados obtemos
f'(z) = -\rho\,g.
Ou seja, a derivada de f em relação a z é uma constante -\rho g. Isso responde o item (iii) até a etapa de identificação de f'(z).

Passo 5

Integre f'(z) = -\rho\,g em relação a z para obter f(z).
  • Integração:
f(z) \;=\; \int -\rho\,g \,dz \;=\; -\rho\,g\,z + C,
onde C é uma constante de integração (agora uma verdadeira constante, não dependendo de r nem de z). Na prova, C é determinada por uma condição de contorno ou referência de pressão (por exemplo p conhecido em algum ponto).

Passo 6

Junte a expressão obtida para f(z) com a parte radial para escrever a solução completa p(r,z).
  • Substituindo f(z)=-\rho g z + C em \displaystyle p(r,z)=\frac{1}{2}\rho\,\omega^{2} r^{2}+f(z), obtemos
p(r,z)=\frac{1}{2}\rho\,\omega^{2} r^{2} - \rho\,g\,z + C.
  • Interpretação prática: o termo \displaystyle \frac{1}{2}\rho\omega^{2}r^{2} é o aumento de pressão devido à rotação (força centrífuga), o termo -\rho g z é a queda de pressão com a altitude por gravidade, e C é a pressão de referência (por exemplo p(0,0)).

Resposta

p(r,z)=\dfrac{1}{2}\rho\,\omega^{2} r^{2}-\rho\,g\,z + C

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