Descobrimos as duas "regras"que a pressão deve obedecer. Agora, vamos construir a função
.
i. Integre a “Regra Radial”
em relação a
. Lembre-se que a "constante"de integração pode ser uma função de
. Vamos chamá-la de
. Qual a expressão preliminar para
?
ii. Para encontrar a função misteriosa
, derive sua expressão de
em relação a
. O resultado deve ser
.
iii. Compare o resultado acima com a sua “Regra Vertical”. O que você conclui sobre
? Integre para encontrar
.
iv. Junte tudo para escrever a equação final e completa para
.
(c)
i. Integre a “Regra Radial”
ii. Para encontrar a função misteriosa
iii. Compare o resultado acima com a sua “Regra Vertical”. O que você conclui sobre
iv. Junte tudo para escrever a equação final e completa para
(c)
Passo 1
O enunciado dá duas “regras” que a pressão
deve satisfazer e pede para construir a expressão completa de
. Informações e perguntas relevantes que temos:
- Informação 1 (Regra radial):
. - Informação 2 (Regra vertical):
. - Pergunta (i): Integre a regra radial em relação a
e escreva a expressão preliminar para , lembrando que a “constante” de integração pode ser uma função de (chamada ). - Pergunta (ii): Calcule
a partir da expressão preliminar; deve sair . - Pergunta (iii): Compare esse
com a Regra vertical e determine ; então integre para achar . - Pergunta (iv): Reúna tudo para escrever a expressão final de
.
Passo 2
Vamos integrar a equação radial
em relação a
, tratando
como parâmetro (ou seja,
é fixo enquanto integramos).
- Raciocínio útil para a prova: quando você integra uma derivada parcial
em relação a , a “constante” de integração pode depender de , porque derivando essa função em relação a ela some. Então escrevemos a constante de integração como . - Integração direta:
- Calcule a integral à direita: a integral de
é . Assim,
Essa é a expressão preliminar pedida no item (i).
Passo 3
Agora derive a expressão preliminar em relação a
para obter
.
- A expressão obtida foi
. - Como
não depende de , sua derivada parcial em relação a é zero. - Portanto,
Isto responde o item (ii).
Passo 4
Compare o resultado
com a Regra vertical que o enunciado fornece:
- Conclusão: igualando os dois lados obtemos
Ou seja, a derivada de
em relação a
é uma constante
. Isso responde o item (iii) até a etapa de identificação de
.
Passo 5
Integre
em relação a
para obter
.
- Integração:
onde
é uma constante de integração (agora uma verdadeira constante, não dependendo de
nem de
). Na prova,
é determinada por uma condição de contorno ou referência de pressão (por exemplo
conhecido em algum ponto).
Passo 6
Junte a expressão obtida para
com a parte radial para escrever a solução completa
.
- Substituindo
em , obtemos
- Interpretação prática: o termo
é o aumento de pressão devido à rotação (força centrífuga), o termo é a queda de pressão com a altitude por gravidade, e é a pressão de referência (por exemplo ).