Descreva como a adição do resistor R1 em série com o capacitor de entrada e, opcionalmente, do capacitor Cf em paralelo com o resistor de feedback (Rf) mitigam esses problemas e garantem um funcionamento estável e prático. O resistor R1 limita o ganho em altas frequências, transformando o derivador em um filtro passa-faixas em vez de um passa-altas puro em frequências muito elevadas. O capacitor Cf atua como um filtro passa-baixas adicional no caminho de feedback, atenuando ainda mais o ruído de alta frequência.

Passo 1

O enunciado trata do amplificador deriva­dor ideal baseado em um op-amp, que na prática tende a amplificar demais ruído de alta frequência e fica sujeito a instabilidades. Para resolver isso, inserimos um resistor R_1 em série com o capacitor de entrada e, opcionalmente, um capacitor C_f em paralelo com o resistor de realimentação R_f. O que vamos usar aqui é a análise de polos e zeros da função de transferência para mostrar como essas adições tornam o circuito estável e limitam o ganho onde não é desejado.

Passo 2

Colocando R_1 em série com o capacitor de entrada C, a impedância de entrada passa a ser
Z_{\text{in}} = R_1 + \frac{1}{j\omega C}\,.
A função de transferência do deriva­dor modificado fica
H(j\omega)\;=\;\frac{Z_f}{Z_{\text{in}}}\;=\;\frac{R_f}{R_1 + \tfrac{1}{j\omega C}} \;=\;\frac{j\omega\,R_f\,C}{1 + j\omega\,R_1\,C}\,.
Isso cria
um zero em \omega=0 (a derivação na banda baixa),
um polo em \omega = \tfrac{1}{R_1C},
de modo que para \omega\gg \tfrac{1}{R_1C} o ganho tende a
\lim_{\omega\to\infty} |H(j\omega)| = \frac{R_f}{R_1}\quad (\text{ganho constante}),
em vez de crescer indefinidamente. Logo, acima da frequência de corte \omega_{p1}=1/(R_1C), o circuito deixa de ser um passa-altas puro e se comporta como um reforço fixo R_f/R_1.

Passo 3

Adicionando o capacitor C_f em paralelo com R_f, a impedância de realimentação passa a ser
Z_f = \frac{R_f}{1 + j\omega\,R_f\,C_f}\,.
Assim surge um polo de realimentação em \omega_{p2} = 1/(R_fC_f). A função de transferência completa fica
H(j\omega) = \frac{\tfrac{R_f}{1 + j\omega R_f C_f}}{R_1 + \tfrac{1}{j\omega C}} = \frac{j\omega\,R_f\,C}{(1 + j\omega\,R_1\,C)\,(1 + j\omega\,R_f\,C_f)}.
Para \omega\gg \omega_{p2}, o termo (1 + j\omega\,R_f\,C_f) faz o ganho cair a -20,dB/década, atenuando fortemente o ruído de altas frequências.

Passo 4

No total, o circuito deixa de ter resposta de ganho crescente sem limites em altas frequências. Entre \omega_{p1} e \omega_{p2} ele se comporta como um derivador com ganho proporcional a \omega. Para \omega<\omega_{p1} o ganho cai (comportamento de filtro passa-altas), e para \omega>\omega_{p2} o ganho também cai (comportamento de filtro passa-baixas). Ou seja, vira um filtro passa-faixas, reduzindo ruído fora da banda útil e melhorando a margem de fase do op-amp, o que garante estabilidade e operação prática.

Resposta

A inclusão de R_1 em série com o capacitor de entrada insere um polo em \omega_{p1}=1/(R_1C), limitando o ganho a R_f/R_1 acima dessa frequência e transformando o deriva­dor num filtro passa-altas com ganho constante em altas frequências. A adição de C_f em paralelo com R_f cria um polo em \omega_{p2}=1/(R_fC_f), que faz o ganho decair acima de \omega_{p2} e atenua ruído de alta frequência. O resultado é uma resposta em passa-faixas, com derivação útil só entre \omega_{p1} e \omega_{p2}, garantindo estabilidade e menos ruído.

Exercícios relacionados