Descreva como ajustar os dados experimentais (tempo e temperatura) de um resfriamento e um aquecimento de uma placa de alumínio com dimensões 5,5 \mathrm{~cm} \times 3,3 \mathrm{~cm} \times 0,5 \mathrm{~cm} por meio da equação:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}=e^{-\frac{h A}{\rho C_{p} V} t}
Usando regressão não linear. O experimento se baseia na solução da equação de transferência de calor transiente utilizando a aproximação de sistemas concentrados. Quando a resistência térmica interna do corpo é desprezível, a temperatura interna pode ser considerada uniforme.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ajuste os dados experimentais de tempo t versus temperatura T(t) de uma placa de alumínio de dimensões 5,5\mathrm{~cm}\times3,3\mathrm{~cm}\times0,5\mathrm{~cm} usando a solução de sistema concentrado
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}} = \exp\Bigl(-\frac{h\,A}{\rho\,C_{p}\,V}\,t\Bigr),
onde
T_{0} é a temperatura inicial do corpo,
T_{\infty} é a temperatura do ambiente,
A é a área de troção,
V é o volume da placa,
\rho é a densidade do alumínio,
C_{p} é o calor específico do alumínio e
h é o coeficiente de transferência de calor que queremos estimar.
O conteúdo é transferência de calor transiente na aproximação de sistema concentrado, e vamos usar regressão não linear para encontrar h.

Passo 2

Calculemos a área total de troção A e o volume V da placa, convertendo tudo para o SI:
\text{dimensões: }0,055\mathrm{~m}\times0,033\mathrm{~m}\times0,005\mathrm{~m}.õ
A área total (considerando as seis faces) é
A = 2\bigl(0,055\cdot0,033 + 0,055\cdot0,005 + 0,033\cdot0,005\bigr)\\ (\mathrm{m}^2),
e o volume é
V = 0,055\cdot0,033\cdot0,005\\ (\mathrm{m}^3).
Use valores típicos para alumínio: \rho\approx2700\;\mathrm{kg/m^3} e C_{p}\approx900\;\mathrm{J/(kg\,K)}.

Passo 3

Defina a variável dependente adimensional
y_i = \frac{T(t_i)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}
para cada ponto experimental \bigl(t_i,T(t_i)\bigr). O modelo teórico será
y_{\mathrm{model}}(t;\beta)=\exp\bigl(-\beta\,t\bigr),
onde
\beta = \frac{h\,A}{\rho\,C_{p}\,V}.

Passo 4

Formule o problema de ajuste não linear como a minimização da soma dos quadrados dos resíduos:
\mathrm{SSE}(\beta) = \sum_{i=1}^{N}\bigl[y_i - \exp(-\beta\,t_i)\bigr]^{2}.
Escolha um algoritmo iterativo (por exemplo, Levenberg–Marquardt) em software como Python (SciPy), MATLAB ou mesmo Excel (Solver) para encontrar o \beta que minimiza \mathrm{SSE}.

Passo 5

Execute a regressão não linear:
  1. Forneça chute inicial razoável para \beta (por exemplo, \beta_0=1).
  2. Deixe o algoritmo ajustar \beta até convergência.
  3. Ao final, obtenha o valor estimado \hat\beta e a matriz de covariância para estimar incertezas.

Passo 6

Recupere o coeficiente de troca h a partir de \hat\beta:
\hat h = \hat\beta\,\frac{\rho\,C_{p}\,V}{A}.
Calcule também o intervalo de confiança de \hat h usando a propagação de incerteza de \hat\beta.

Passo 7

Verifique a qualidade do ajuste conferindo:
– O coeficiente de determinação R^2 entre y_i e \exp(-\hat\beta\,t_i).
– O gráfico de resíduos \,y_i - \exp(-\hat\beta\,t_i) versus t_i, que deve mostrar dispersão aleatória.
– Se necessário, repita o ajuste incluindo termos de correção (por exemplo, resistência de contato) caso os resíduos mostrem viés sistemático.

Resposta

Ajuste os dados fazendo regressão não linear de
y(t)=\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}} \quad\text{em} \quad y_{\mathrm{model}}(t)=e^{-\beta\,t},
extraia \hat\beta e calcule
\hat h = \hat\beta\,\frac{\rho\,C_{p}\,V}{A}.
Verifique R^2 e análise de resíduos para garantir a confiabilidade do valor encontrado.

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