Descreva como ajustar os dados experimentais (tempo e temperatura) de um resfriamento e um aquecimento de uma placa de alumínio com dimensões 5,5 \mathrm{~cm} \times 3,3 \mathrm{~cm} \times 0,5 \mathrm{~cm} por meio da equação:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}=e^{-\frac{h A}{\rho C_{p} v} t}
Usando regressão não linear.

Passo 1

O enunciado fornece dados experimentais de tempo t e temperatura T(t) para uma placa de alumínio de dimensões 5,5\cm\times3,3\cm\times0,5\cm. Queremos ajustar esses dados pelo modelo de resfriamento/aquecimento de Newton em regime lumped, dado pela equação
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}} = \exp\!\Bigl(-\frac{h\,A}{\rho\,C_{p}\,v}\,t\Bigr),
onde T_{0}=T(0), T_{\infty} é a temperatura ambiente conhecida, \rho e C_{p} são densidade e calor específico do alumínio, v é o volume da placa e A a área de troca térmica. Nosso objetivo é estimar o coeficiente de convecção h por regressão não-linear.

Passo 2

Introduzimos o parâmetro
k = \frac{h\,A}{\rho\,C_{p}\,v}
e reescrevemos o modelo como
T_{\rm model}(t; k) = T_{\infty} + \bigl(T_{0}-T_{\infty}\bigr)\,\exp\bigl(-k\,t\bigr).
Dessa forma, bastará ajustar k aos dados e depois recuperar
h = k\,\frac{\rho\,C_{p}\,v}{A}.

Passo 3

Preparo dos dados:
  1. Organize vetores \{t_i\} e \{T_i\} em unidades do SI (segundos e kelvin).
  2. Defina T_{0}=T_1 (primeira medida) e T_{\infty} (temperatura ambiente).
  3. Calcule volume
v = (5{,}5\times10^{-2})(3{,}3\times10^{-2})(0{,}5\times10^{-2})\\ \mathrm{m^3},
e área total
A = 2\bigl[(5{,}5\times3{,}3)+(5{,}5\times0{,}5)+(3{,}3\times0{,}5)\bigr]\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Use \rho=2700 \mathrm{kg/m^3} e C_{p}=896 \mathrm{J/(kg\,K)}.

Passo 4

Formule o critério de ajuste como soma dos quadrados dos resíduos
S(k) = \sum_{i}\Bigl[T_i - T_{\rm model}(t_i; k)\Bigr]^2.
Escolha um método de mínimos quadrados não-lineares (por exemplo Levenberg–Marquardt). Em Python você pode usar
scipy.optimize. curve_fit
ou em MATLAB lsqcurvefit. Forneça um palpite inicial para k (por exemplo obtido de um ajuste linear de \ln[(T_i-T_{\infty})/(T_0-T_{\infty})] versus t_i).

Passo 5

Execute a rotina de ajuste não-linear para obter \hat k e, em seguida, calcule
\hat h = \hat k\,\frac{\rho\,C_{p}\,v}{A}.
Os pacotes geralmente retornam também a incerteza padrão de \hat k, que pode ser propagada para obter incerteza em \hat h.

Passo 6

Valide o ajuste:
– Plote T_i versus t_i junto com T_{\rm model}(t;\hat k).
– Calcule o coeficiente de determinação R^2.
– Examine os resíduos para checar viés ou heterocedasticidade.
Se necessário, faça ponderação ou descarte outliers.

Resposta

O procedimento de ajuste não-linear consiste em assumir o modelo
T(t)=T_{\infty} + (T_{0}-T_{\infty})\,e^{-k\,t},
ajustar o parâmetro k por mínimos quadrados não-lineares (por exemplo via Levenberg–Marquardt) e, em seguida, recuperar o coeficiente de convecção por
h = k\,\frac{\rho\,C_{p}\,v}{A}.

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