Problema 1 (2.5 Ptos): Um disco gira dentro de um compartimento cheio de óleo, tendo 2,4 \mathrm{~mm} de folga de superfícies planas de cada lado do disco. A superfície do disco se estende de um raio de \mathrm{R}_{\mathrm{i}}=12 \mathrm{~mm} a \mathrm{R}_{\mathrm{e}}=86 \mathrm{~mm}. Qual torque é necessário para acionar o disco a 660 rpm se a viscosidade absoluta do óleo for 0,12 Pa.s?

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio interno \mathrm{R}_{i}=12\text{ mm} e raio externo \mathrm{R}_{e}=86\text{ mm}, girando a 660\text{ rpm} dentro de um compartimento cheio de óleo de viscosidade \mu=0{,}12\text{ Pa\cdots}. Há uma folga paralela de h=2{,}4\text{ mm} em cada lado do disco. Queremos o torque de acionamento devido ao cisalhamento viscoso no filme de óleo, usando a teoria de escoamento entre discos paralelos com fluido newtoniano.

Passo 2

Em cada lado do disco, a velocidade tangencial é u=\omega\,r, onde
\omega = 2\pi\frac{660}{60} = 22\pi\text{ rad/s}\,.
O gradiente de velocidade no filme aproximamos por
\frac{du}{dy}\approx \frac{\omega\,r}{h}\,,
logo a tensão de cisalhamento é
\tau = \mu\,\frac{\omega\,r}{h}\,.
Um anel de raio r e espessura dr tem área dA = 2\pi r\,dr, força de cisalhamento dF = \tau\,dA e momento dT = dF\cdot r.

Passo 3

Somando os dois lados do disco e integrando de r=R_i até r=R_e, obtemos
T \;=\;2\int_{R_i}^{R_e}\tau\,(2\pi r\,dr)\,r \;=\;2\int_{R_i}^{R_e}\mu\,\frac{\omega\,r}{h}\,2\pi r\,r\,dr \;=\;\frac{4\pi\mu\,\omega}{h}\int_{R_i}^{R_e}r^3\,dr\,.

Passo 4

A integral \displaystyle\int_{R_i}^{R_e}r^3\,dr = \frac{R_e^4 - R_i^4}{4} leva a
T = \frac{4\pi\mu\,\omega}{h}\cdot\frac{R_e^4 - R_i^4}{4} =\frac{\pi\,\mu\,\omega}{h}\Bigl(R_e^4 - R_i^4\Bigr)\,.
Agora convertemos para metros: \displaystyle R_i=0{,}012\text{ m}, R_e=0{,}086\text{ m}, h=0{,}0024\text{ m}, \omega=22\pi\text{ rad/s}.

Passo 5

Calculando
R_e^4 - R_i^4 = (0{,}086)^4 - (0{,}012)^4 \approx 5{,}47\times10^{-5}\,,
então
T = \frac{\pi\cdot0{,}12\cdot22\pi}{0{,}0024}\times5{,}47\times10^{-5} \approx0{,}59\text{ N\cdotm}\,.

Resposta

O torque necessário é aproximadamente 0{,}59\text{ N\cdotm}.

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