Descreva os nós angulares associados com cada um dos seguintes orbitais:
Passo 1
O enunciado pede: descrever os nós angulares do orbital
.
Informações dadas (assumidas de forma padrão para essa notação):
Informações dadas (assumidas de forma padrão para essa notação):
- número quântico principal
; - momento angular orbital
(tipo ); - subnível escrito como
corresponde tipicamente ao orbital com , isto é o orbital (também escrito ).
O que vou responder: quantos nós angulares há, quantos nós radiais há, e a forma geométrica desses nós angulares (equações angulares que definem as superfícies nodais).
Passo 2
Revisão rápida e útil sobre nós (para não perder ponto na prova):
- Um “no” (nodo) é uma superfície onde a função de onda atômica vale zero.
- O número total de nós de um orbital atômico é
. Isso vem da solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: modos radiais e angulares se combinam para dar exatamente nós. - Esses nós se dividem em dois tipos:
- nós angulares: em número igual a
(dependem da parte angular da função de onda); - nós radiais: em número igual a
(dependem da parte radial).
- nós angulares: em número igual a
Assim, para qualquer orbital dado basta aplicar essas fórmulas para saber quantos nós de cada tipo existem.
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao orbital em questão (
,
):
- número total de nós:
. - número de nós angulares:
. - número de nós radiais:
.
Interpretação imediata: os dois nós são ambos angulares; não há nós radiais (ou seja, não existe uma superfície esférica onde a função muda de sinal).
Passo 4
Agora descobrir a forma geométrica dos nós angulares para o orbital
.
A parte angular do orbital é proporcional ao polinômio de Legendre
; uma forma conveniente é:
A parte angular do orbital
Os nós angulares são as soluções de
. Portanto:
Tomando raiz,
Isso dá dois ângulos (medidos a partir do eixo
):
Numericamente,
Passo 5
Interpretação geométrica e física (como desenhar/visualizar na prova):
- Superfícies de
constante são cones em torno do eixo . Portanto as duas equações acima correspondem a duas superfícies conicais (simétricas em relação ao plano ). - A função de onda
muda de sinal ao atravessar cada um desses cones; entre os cones (região próxima ao equador) a parte angular tem sinal oposto ao das regiões perto dos polos. - Como não há nós radiais, não existe uma superfície esférica nodal — toda a estrutura nodal é determinada apenas por esses dois cones.
- Forma prática do orbital: dois lóbulos principais ao longo de
e e uma “rosquinha” (toróide) ao redor do equador; os cones separam essas regiões com mudança de sinal.
Passo 6
Resumo do procedimento usado (útil para a prova):
- identificar
e ; - calcular nós: angulares
, radiais ; - obter a parte angular (para
usar ) e resolver igual a zero para achar as superfícies nodais; - explicar a geometria (planos ou cones) correspondentes às condições angulares obtidas.
Resposta
Duas superfícies angulares (nós angulares) — dois cones dados por
, isto é
e
. Não há nós radiais (
nós radiais).