Descreva os nós angulares associados com cada um dos seguintes orbitais:
3 d_{z}

Passo 1

O enunciado pede: descrever os nós angulares do orbital 3d_{z}.
Informações dadas (assumidas de forma padrão para essa notação):
  • número quântico principal n=3;
  • momento angular orbital l=2 (tipo d);
  • subnível escrito como d_{z} corresponde tipicamente ao orbital com m_l=0, isto é o orbital d_{z^2} (também escrito d_{3z^2-r^2}).
O que vou responder: quantos nós angulares há, quantos nós radiais há, e a forma geométrica desses nós angulares (equações angulares que definem as superfícies nodais).

Passo 2

Revisão rápida e útil sobre nós (para não perder ponto na prova):
  • Um “no” (nodo) é uma superfície onde a função de onda atômica vale zero.
  • O número total de nós de um orbital atômico é n-1. Isso vem da solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: modos radiais e angulares se combinam para dar exatamente n-1 nós.
  • Esses nós se dividem em dois tipos:
    • nós angulares: em número igual a l (dependem da parte angular da função de onda);
    • nós radiais: em número igual a n-l-1 (dependem da parte radial).
Assim, para qualquer orbital dado basta aplicar essas fórmulas para saber quantos nós de cada tipo existem.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao orbital em questão ( n=3, l=2):
  • número total de nós: n-1 = 3-1 = 2.
  • número de nós angulares: l = 2.
  • número de nós radiais: n-l-1 = 3-2-1 = 0.
Interpretação imediata: os dois nós são ambos angulares; não há nós radiais (ou seja, não existe uma superfície esférica onde a função muda de sinal).

Passo 4

Agora descobrir a forma geométrica dos nós angulares para o orbital d_{z^2}.
A parte angular do orbital d_{z^2} é proporcional ao polinômio de Legendre P_2(\cos\theta); uma forma conveniente é:
P_2(\cos\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(3\cos^2\theta-1\bigr).
Os nós angulares são as soluções de P_2(\cos\theta)=0. Portanto:
3\cos^2\theta-1=0 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\theta=\tfrac{1}{3}.
Tomando raiz,
\cos\theta=\pm \tfrac{1}{\sqrt{3}}.
Isso dá dois ângulos (medidos a partir do eixo +z):
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\quad\text{e}\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).
Numericamente,
\theta\approx 54{,}7^\circ\quad\text{e}\quad \theta\approx 125{,}3^\circ.

Passo 5

Interpretação geométrica e física (como desenhar/visualizar na prova):
  • Superfícies de \theta= constante são cones em torno do eixo z. Portanto as duas equações acima correspondem a duas superfícies conicais (simétricas em relação ao plano xy).
  • A função de onda d_{z^2} muda de sinal ao atravessar cada um desses cones; entre os cones (região próxima ao equador) a parte angular tem sinal oposto ao das regiões perto dos polos.
  • Como não há nós radiais, não existe uma superfície esférica nodal — toda a estrutura nodal é determinada apenas por esses dois cones.
  • Forma prática do orbital: dois lóbulos principais ao longo de +z e -z e uma “rosquinha” (toróide) ao redor do equador; os cones separam essas regiões com mudança de sinal.

Passo 6

Resumo do procedimento usado (útil para a prova):
  1. identificar n e l;
  2. calcular nós: angulares =l, radiais =n-l-1;
  3. obter a parte angular (para d_{z^2} usar P_2(\cos\theta)) e resolver igual a zero para achar as superfícies nodais;
  4. explicar a geometria (planos ou cones) correspondentes às condições angulares obtidas.

Resposta

Duas superfícies angulares (nós angulares) — dois cones dados por \cos\theta=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, isto é \theta\approx 54{,}7^\circ e \theta\approx125{,}3^\circ. Não há nós radiais ( 0 nós radiais).

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